Lektsiyi_Ukhanska_1

§ 1.3. Властивості розв’язків задач лінійного програмування.

Нагадаємо означення опуклої множини.

Означення 1. Множина точок n-вимірного простору, яка містить разом із будь-якими двома точками А і В всі точки відрізка АВ , називається опуклою множиною.

Внутрішньою називається точка множини, для якої існує ε-окіл, що містить лише точки даної множини. Граничною називається точка, для якої існує ε-окіл, що містить як точки даної множини, так і ті, які не належать множині.

Означення 2. Граничні точки, які не лежать всередині відрізка, що з’єднує дві інші точки множини, називаються вершинами ( кутовими точками або крайніми точками ).

10

вершиною опуклого многокутника.

Таким чином, пошук оптимального плану задачі лінійного програмування можна обмежити перевіркою вершин опуклої множини планів задачі.

Теорема 3. ( Критерій крайності точки опуклої множини ). Для того щоб точка

Наслідок. Кожній вершині множини планів задачі лінійного програмування відповідає m

лінійно незалежних векторів із системи векторів P1 , P2 ,..., Pn .

§ 1.4. Графічний метод розв’язування задач лінійного програмування.

Графічний метод використовують для розв’язування задач лінійного програмування з двома (трьома) змінними.

Нехай треба знайти max (min) лінійної функції

11

лінійна функція, то лінії рівня є паралельні прямі). Лінію рівня ще називають гіпер-

прямою. Отже, проводимо через многокутник розв’язків гіпер-пряму,

Знаходимо вершину многокутника, в якій досягається найбільше значення функції

L (для знаходження точки мінімуму гіпер-пряму треба переміщувати у напрямку,

x1 , x2 0

Побудуємо многокутник розв’язків (ACBO).

12

x2

x1

Рис.1.6.

§ 1.5. Симплексний метод розв’язування задач лінійного програмування .

Симплексний метод ( метод послідовного покращення плану ) є універсальним методом розв’язування задачі лінійного програмування, записаної у канонічній формі.

Суть методу полягає у послідовному переході від одного опорного плану до іншого так,

що значення лінійної форми весь час зростає (при умові, що задача має оптимальний розв’язок і всі опорні плани невироджені).

Розглянемо задачу лінійного програмування, записану в канонічній формі (1.1)-

(1.3). Спочатку приведемо систему обмежень (1.2) до одиничного базису і припустимо для визначеності, що цей базис складається з перших m стовпців. Тобто система обмежень

(1.2) матиме вигляд

14

Запишемо тепер задачу лінійного програмування у вигляді

задачі. Тоді виконується співвідношення (1.10). Невиродженому опорному планові

15

один додатний. Якщо ця умова не виконується , то лінійна форма на множині планів є необмеженою.

Зауваження 2. Якщо оптимальний план вироджений, то можливо, що ми не зможемо при обраному векторі Pk , який вводимо в базис, перейти до нового опорного плану. У цьому випадку треба спробувати ввести в новий базис інший вектор або змінити базис, що відповідає X.

2. Теоретичні основи симплекс-методу.

Задача лінійного програмування має скінчене число опорних планів і після скінченого

числа ітерацій процес послідовного покращення розв’язку повинен обірватися. Це означатиме, що знайдено найкращий опорний розв’язок, при якому цільова функція

то отриманий опорний розв’язок є лише найкращим серед опорних, але не оптимальним

L . Виникає питання, чи можна про це довідатися в процесі виконання послідовних ітерацій. Відповідь на ці запитання дають теореми, які є основними для симплексного

методу.

Покладемо

i 1

16

Теорема 1. (Ознака оптимальності опорного плану).

Теорема 2. (Ознака необмеженості лінійної форми на множині планів).

В перших m рядках симплекс-таблиці розміщені вектори базису ( стовпець Б ),

Якщо після побудови першої симплекс-таблиці виявилось, що виконуються умови першої або другої теореми, то розв’язування задачі припиняється. Якщо виконуються

17

умови третьої теореми, то будуємо нову симплекс-таблицю і переходимо до нового опорного плану.

Для переходу до нового опорного плану необхідно один вектор вивести з базису і на його місце ввести новий, який не належав до базису. Цей новий вектор визначається

називаються відповідно ключовим (або розв’язуючим) стовпцем, рядком та елементом.

Опорний план, що відповідає новому базисові, матиме координати, які визначаються за формулами

Нове значення цільової функції обчислюють за формулою

При розв’язуванні вихідної задачі припускалось, що всі опорні плани не вироджені

( bi 0 ). Якщо серед опорних планів задачі лінійного програмування є вироджені, то при переході від одного виродженого плану до іншого може статися так, що опорний план не зміниться, а зміниться лише базис, що йому відповідає. Такий перехід може відбутися декілька разів. Якщо при цьому ми повертаємося до базису, що вже мав місце, то в алгоритмі симплексного методу утворюється цикл (відбувається зациклення). У цьому випадку доводиться використовувати спеціальні додаткові прийоми виходу з циклу. В

реальних умовах таких задач майже не зустрічається.

Приклад. Знайти найбільше значення лінійної функції L 3x1 2x2 на множині невід’ємних розв’язків системи нерівностей

18

Зведемо задачу до канонічного вигляду

Оскільки ранг матриці системи обмежень дорівнює 2, то матимемо два базисні вектори. За

ключового стовпчика ( P1 ): 12/2=6, 4/2=2 і вибираємо з них найменше. Отже, елемент 2, що стоїть на перетині стовпця P1 і рядка P4 , буде ключовим, а з базису необхідно вивести вектор P4 . Переходимо до наступної ітерації.

Кожен елемент ключового рядка (2), починаючи зі стовпчика P0 , ділимо на ключовий елемент 2 і результат записуємо в нову таблицю у другий рядок. До елементів першого рядка старої таблиці, починаючи зі стовпчика P0 , додаємо відповідні елементи

19