Lektsiyi_Ukhanska_1

Якщо таким методом визначається абсолютний екстремум функціонала, то наближене значення мінімуму функціонала отримуємо з надлишком, а максимуму – з недостачею.

Від вдалого вибору системи координатних функцій i x в значній мірі залежить успіх застосування цього методу.

В багатьох випадках достатньо взяти лінійну комбінацію двох-трьох функцій i x

для того, щоб отримати досить вдале наближення до точного розв’язку.

Приклад. Знайти мінімум функціонала

90

розглядаються не на допустимих для даної варіаційної задачі кривих, а лише на ламаних ,

які складаються із заданого числа n прямолінійних ланок, абсциси яких

а потім переходимо до границі при n . Якщо не здійснювати граничного

91

диференційованих функцій, які задовольняють однорідним крайовим умовам. Позначимо через f нев’язку : f L yn P f P .

вибираються з міркувань зручності обчислень отриманих інтегралів.

Приклад. Знайти екстремаль функціонала

умовам, є лінійно незалежними і неперервно-диференційованими. Тоді шукану функцію можемо подати у вигляді

функцій 1 x 1, 2 x x , які є лінійно незалежними на 0;1 з функціями 1 x , 2 x :

Остаточно знаходимо, що шукане наближення для екстремалі має вигляд

Зауважимо, що в даній задачі шукане наближення співпадає з точним розв’язком.

93

РОЗДІЛ 7. ЗАДАЧІ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛІННЯ.

Однією із задач на умовний екстремум є задача оптимального управління.

Структурна схема задачі управління складається з двох ланок: керуючого органу і об’єкта керування (управління). В якості об’єкта управління може служити, наприклад космічний корабель, економіка галузі промисловості і т.д. Якщо управління здійснюється без участі людини, то воно називається автоматичним ( пристрій управління процесом обчислення на комп’ютер, автопілот і т.д.). Системи управління, в яких обов’язково присутня людина,

називаються автоматизованими (система управління виробництвом).

Прикладом задач оптимального управління є рух ракети з метою досягнення заданої висоти при мінімальних затратах палива. В рамках класичного варіаційного числення розв’язати таку задачу є неможливо. Необхідними умовами оптимальності в задачах з обмеженнями на управління ( які суттєво розвивають основні результати класичного варіаційного числення ) записуються у вигляді принципу максимуму Понтрягіна. Інший підхід до розв’язування цих задач базується на методі динамічного програмування Беллмана.

§ 7.1. Постановка задач оптимального управління.

Конкретна задача оптимального управління визначається типом рівнянь, що описують еволюцію системи, видом функціонала, який необхідно мінімізувати, і

обмеженнями на траєкторію і управління. В залежності від характеру явища, що розглядається, для його опису використовуються звичайні диференціальні рівняння,

рівняння в частинних похідних, різницеві рівняння, стохастичні та інші.

вектор часу повністю визначає положення літака як твердого тіла в просторі. Три координати визначають положення центра мас, а три – обертання навколо центра мас.

Фактично курс літака це і є функція, що визначає положення об’єкту управління – літака.

Від керуючого органу до об’єкту управління поступає вектор-функція управління (або

94

відповідні сили, прикладені до руля. Зрозуміло, що вектори x t і u t зв’язані між собою і найчастіше цей зв’язок має вигляд системи звичайних диференціальних рівнянь:

Lx x,u ,

де L - оператор, що визначає систему управління, - відома функція. Зауважимо,

оператор L може бути не лише із звичайними похідними, але і з частинними похідними, а

також інтегродиференціальним, лінійним, нелінійним, алгебраїчним, заданим у вигляді таблиці, графіка.

поставлених завдань, які часто можна записати в термінах мінімізації деяких функціоналів, що залежать від x t і u t . В залежності від виду функціонала (його ще називають критерієм якості ) розрізняють задачі Лагранжа, Майєра і Больца.

Критерій якості I має вигляд:

-Для задачі Лагранжа

95

- У випадку, коли F t, x,u 1 маємо так звану задачу швидкодії.

Така класифікація задач управління є досить умовною, оскільки задачі Больца і Лагранжа легко зводяться до задачі Майєра.

Крім того, на задачі управління накладаються додаткові умови, а саме:

-Обмеження на траєкторію.

Задачі з фіксованими кінцями, вільним лівим чи правим кінцем, задачі з рухомими кінцями, задачі з ізопериметричними обмеженнями. Останні мають вигляд інтегралів

-Обмеження на управління.

При побудові оптимального управління системою (2.1) важливе значення має те,

яка саме інформація про систему (7.1) є доступною керуючій стороні. Якщо

називається в цьому випадку програмним або П-управлінням, шукається в класі функцій u t , що залежать тільки від часу t . Якщо ж в кожний момент часу t

принципом оберненого зв’язку або синтезом управління).

Зокрема ці умови можуть мати вигляд

Запишемо постановку задачі оптимального управління у випадку сукупних обмежень:

96

1. Рівняння руху (7.1):

відрізку числової осі. Управління u t шукається в класі кусково-неперервних функцій, а

Прикладом технічної задачі оптимального управління є задача про вертикальний підйом ракети на максимальну висоту ( задача Годдарда ).

97

розглядатимемо ракету як матеріальну точку. Тоді відповідно до другого закону Ньютона матимемо рівняння руху ракети ( рівняння Мещерського)

при початкових умовах

Так поставлена задача є задачею Майєра з нефіксованим моментом закінчення руху.

§ 7.2. Необхідні умови оптимальності. Метод множників Лагранжа.

Ефективним методом пошуку оптимального розв’язку скінчено вимірних задач оптимізації є метод множників Лагранжа. Наведемо необхідні умови оптимальності для задачі (7.3)-(7.6):

dxdt f t, x t , u t , x Rn , u Rm , t0 t T .

I t0 , x t0 ,u,T , x T min .

u

98

Теорема. Нехай t0 ,T ,u0 t , x0 t розв’язок задачі (7.10). Тоді існують такі одночасно не

рівняння Ейлера

руху, а умова (7.16) – якщо змінюється момент часу T . Якщо якийсь із моментів t0 чи T є

заданим, то відповідна умова (7.15) або (7.18) не враховується. Крім того, якщо 0

99