8.3. Перетин многогранника з прямою

Поверхня опуклого многогранника має з прямою дві спільні точки - це точки перетину прямої з гранями многогранника. Якщо одну з таких точок назвати точкою входу прямої, то друга з них буде точкою виходу. При побудові точок перетину прямої з гранями застосовуються способи: допоміжної січної (краще проектуючої) площини та перетворення проекцій. У першому випадку через пряму проводиться допоміжна проектуюча площина і визначається переріз многогранника цією площиною. Одержаний переріз та пряма лежать в одній площині і перетинаються в двох точках, які є шуканими точками перетину прямої з многогранником.

Приклад 1. Визначити точки перетину прямої  з поверхнею піраміди (рис. 8.6).

1. Через пряму  проводимо фронтально-проектуючу площину . ₂₂.

2. Будуємо проекції перерізу піраміди площиною: 1₂,2₂,3₂1₁,2₁,3₁.

3. Визначаємо точки перетину прямої  з побудованим перерізом - точки M і N (M₁,N₁  M₂, N₂).

4. Визначаємо видимість прямої на П₁ і П₂.

Якщо проекція прямої не перетинається з проекцією перерізу, то пряма не перетинається з поверхнею.

Рис. 8.6

Приклад 2. Визначити точки перетину прямої  з поверхнею похилої призми.

1). Через пряму  проводимо площину  загального положення (m ). Для цього на прямій  беремо довільну точку К. Через цю точку проводимо пряму m, яка паралельна бічним ребрам призми (рис. 8.7).

2). Будуємо горизонтальний слід площини .

m  ₁ = 1.   П₁ = 2. 1-2 - горизонтальний слід площини .

3). З точок перетину горизонтального сліду площини  з основою призми (точки 3₁ і 4₁) проводимо лінії, паралельні бічним ребрам призми. Ми визначили горизонтальну проекцію перерізу призми площиною . Ця проекція перерізу перетинається з проекцією прямої ₁ в точках М₁ і N₁, які є горизонтальними проекціями точок перетину прямої  з поверхнею похилої призми.

Якщо проекція сліду площини не перетинається з проекцією основи поверхні, то пряма не перетинається з поверхнею.

Рис. 8.7

Запитання для самоперевірки

1. Що називається призмою? Чим задається призматична поверхня?

2. Що називається пірамідою? Чим задається поверхня піраміди?

3. Як визначити проекції точок, що лежать на поверхні многогранника?

4. Що розуміється під назвою "тетраедр"?

5. Як будується фігура, що отримується при перетині призми чи піраміди площиною?

6. Як будуються точки перетину призми чи піраміди прямою лінією (точки входу і виходу)?

7. Як перерізається призма площиною, яка паралельна до бічних ребер?

8. Як перерізається піраміда площиною, яка проходить через вершину піраміди?

Лекція 9 криві лінії

9.1. Способи утворення кривих ліній

Обрисами багатьох інженерних конструкцій і споруд, деталей машин і механізмів є криві лінії. Кривими лініями складаються каркаси і сітки поверхонь.

Будь-яка крива лінія може бути отримана:

1. рухом точки у просторі (рис. 9.1);

2. перетином кривих поверхонь площиною (рис. 9.2);

3. взаємним перетином двох поверхонь, з яких хоча б одна крива (рис. 9.3).

Рис. 9.1 Рис. 9.2 Рис. 9.3