Скалярний добуток векторів.
http://ua.onlinemschool.com/math/assistance/vector/multiply1/
Скалярним добуткомдвох векторів
a
і
b
буде скалярна величина, яка дорівнює сумі попарного добутку відповідних координат векторів
a
и
b
.
Скалярним добуткомдвох векторів
a
и
b
буде скалярна величина, яка дорівнює добутку модулів цих векторів помноженому на косинус кута між ними.
Властивість.Якщо скалярний добуток двох не нульових векторів дорівнює нулю, то ці вектори ортогональні.
Так у випадку плоскої задачі скалярний добуток векторів
a
=
{ax
;
ay}
и
b
=
{bx
;
by}
знаходиться за формулою
a
·
b
=
ax · bx
+
ay · by
Приклад 1. Знайти скалярний добуток векторів
a
=
{
1; 2
}
і
b
=
{
4; 8
}
. Розв'язок
a
·
b
= 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20
Так у випадку просторової задачі скалярний добуток векторів
a
=
{ax
;
ay
;
az}
і
b
=
{bx
;
by
;
bz}
знаходиться за формулою
a
·
b
=
ax · bx
+
ay · by
+
az · bz
Приклад 1.Знайти скалярний добуток векторів
a
=
{
1; 2; -5
}
и
b
=
{
4; 8; 1
}
. Розв'язок
a
·
b
= 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 - 5 = 15
Векторний добуток векторів.
http://ua.onlinemschool.com/math/assistance/vector/multiply1/
Векторний добутокдвох векторів
a
=
{x1; y1; z1}
і
b
=
{x2; y2; z2}
в декартовій системі координат - це вектор значення якого можна знайти за наступними формулами:
|
a × b = |
i |
j |
k |
= i(y1z2 - z1y2) - j(x1z2 - z1x2) + k(x1y2 - y1x2) |
|
x1 |
y1 |
z1 | ||
|
x2 |
y2 |
z2 |
або
a
×
b
=
{y1z2- z1y2; z1x2- x1z2; x1y2- y1x2}
Властивість 1.Модуль векторного добутку двох векторів
a
і
b
дорівнює площині паралелограма побудованого на цих векторах.
Властивість 2.Якщо векторний добуток двох векторів
a
и
b
дорівнює нулю то вектори колінеарні.
Приклад 1.Знайти векторний добуток векторів
a
=
{
1; 2; 3
}
і
b
=
{
2; 1; -2
}
. Розв'язок
|
a × b = |
i
|
j
|
k
|
= |
|
1 |
2 |
3 | ||
|
2 |
1 |
-2 |
=
i
(2 · (-2) - 3 · 1) -
j
(1 · (-2) - 2 · 3) +
k
(1 · 1 - 2 · 2) =
{
-7; 8; -3
}
Мішаний добуток векторів.
http://ua.onlinemschool.com/math/assistance/vector/multiply2/
Мішаний добуток векторів— це скалярний добуток вектора
a
на векторний добуток векторів
b
і
c
.
Мішаний добуток векторівдорівнює визначнику матриці, побудованої з цих векторів.
Властивість 1.Модуль мішаного добутку трьох векторів дорівнює об'єму паралелепіпеда, утвореного цими векторами.
Властивість 2.
a
· [
b
×
c
] =
b
· [
c
×
a
] =
c
· [
a
×
b
] = -
a
· [
c
×
b
] = -
b
· [
a
×
c
] = -
c
· [
b
×
a
]
Властивість 3.Якщо мішаний добуток трьох не нульових векторів дорівнює нулю, то цівектори компланарні.
Приклад1.Знайти мішаний добуток векторів
a
=
{
1; 2; 3
}
,
b
=
{
1; 1; 1
}
,
c
=
{
1; 2; 1
}
. Розв'язок:
|
a · [ b × с ] = |
1 |
2 |
3 |
= |
|
1 |
1 |
1 | ||
|
1 |
2 |
1 |
= 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 - 1·1·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2