4. Лінеаризація математичної моделі.

Початковий стан рівноваги будемо розглядати як номінальний режим роботи об’єкту. Отже Р₁₀=Р_1Н, Р₂₀=Р_2Н, Q₂₀=Q₁₀=Q_H, h₀=h_H.Лінеаризуємо математичну модель відносно прийнятого номінального режиму.

Перепишемо систему ( 5 ) у формі (3.2):

(9)

Тоді лінеаризована система буде мати вигляд:

.(10)

Або, позначивши значення часткових похідних через a_ij таb_ij, отримаємо

(11)

Згідно із завданням, причиною відхилення параметрів об’єкту від стану рівноваги є зміна тиску Р₁. Зміни інших вхідних та керуючих величин відсутні (), тому система (11) матиме вигляд:

(12)

Коефіцієнти системи (12) визначаються за формулами:

(13)

Щоб використати для дослідження лінійної моделі (12) матричні методи, на яких базуються функції STEP та IMPULSE, потрібно записати її в матричній формі:

, (14)

або, застосувавши умовні позначення матриць,

,

де А=- власна матриця системи,

X=- вектор параметрів стану,

b=- матриця вхідних величин.

Згідно із стандартною формою представлення лінійних систем, у випадку, коли рівень рідини в ємності є вихідною величини об’єкту, повною моделлю лінеаризованого об’єкту буде система рівнянь:

,

Y=C*X+D*U

де: С=[1 0], D=[0].

5. Дослідження реакції моделі на стрибкоподібне збурення.

5.1. Для нелінійної моделі .

Щоб знайти реакцію нелінійної моделі на стрибкоподібну зміну тиску Р₂, розв’яжемо систему нелінійних диференційних рівнянь (9) за допомогою функції ODE23. Опишемо систему (9) у файліnelmod.m:

function y=nelmod (t,x);

h=x(1); Q1=x(2);

ro=1000; g=9.8; dz=0.9; kv=1e-5;

d=0.25; r1=0.09; L1=102; r2=0.07; L2=3;

p1=15000; p2=800;

% -------------------------------------------------

k2=(pi*r2^4)/(8*L2*kv);

k1=sqrt((4*pi^2*r1^5)/(L1*dz));

S=pi*d^2/4;

A=4*pi*r1^3/dz;

% -------------------------------

y=[ (Q1-k2*((ro*g*h-p2)/ro))/S;

(k1^2*(p1/ro)-Q1^2)/A ];

Графіки перехідних процесів h(t) та Q(t) отримаємо, підставивши в файл lab2fnelmod.mзначення тиску Р₁=6 кПа та виконавши наступну послідовність команд:

clear;clc

format long;

x0=[0.022396368107232 0.006171779916569];

[t,y]=ode23('nelmod',[0 1],x0);

subplot(2,1,1);plot(t,y(:,1),'r');grid;xlabel('t,c');ylabel('H,m');

subplot(2,1,2);plot(t,y(:,2),'r');grid;xlabel('t,c');ylabel('Q_1,m^3/c');

Матриця ускладається з двох стовпців, перший з яких містить значення зміни рівня в часі h(t), а другий - залежності Q₂(t).

Після виконання послідовності команд отримаємо графіки залежності h(t) та Q₂(t) рис.2.

Рис.2. Графіки зміни рівня та зміни витрати рідини в нелінійній моделі.

5.2. Для лінійної моделі .

Реакцію лінійної моделі на одиничнийстрибкоподібний вхідний сигнал можна визначити за допомогою функції STEP. Для знаходження реакції на стрибкоподібне відхилення вхідної величини від номінального значення , перехідну функцію системи, одержану з допомогою функції STEP, потрібно помножити на .

Послідовність команд для знаходження значень матриці стану А та вектора вхідних величинb, які є вхідними аргументами для функції STEP, та для побудови графіків перехідних процесів та _,записана у файліgrafrez.m:

% Розв'язування лінійної системи

p10=15000; p20=200;

ro=1000; g=9.8;

dz=0.9; d=0.25;

r1=0.09; r2=0.07;

L1=102; L2=3;

kv=1e-5;

k2=(pi*r2^4)/(8*L2*kv);

k1=sqrt((4*pi^2*r1^5)/(L1*dz));

Q1=sqrt(k1^2*p10/ro);

S=pi*d^2/4;

A=4*pi*r1^3/dz;

a11=(1/S)*(-k2*g); a12=1/S;

b11=(1/S)*k2*(1/ro);

a21=0;

a22=1/A*(-2*Q1);

a=[a11 a12; a21 a22]

b=[b11; 0]

% побудова графіків перехідних процесів лінійної моделі

P2=800; P20=200;

Px=P2-P20;

c=[1 0]; d=[0];

t=[0:0.01:1];

x0=[0.022396368107232 0.006171779916569];

[y,x]=step(a,b,c,d,1,t);

x=Px*x;

subplot(2,1,1);plot(t,x0(1)+x(:,1),'r');grid;xlabel('t,c');ylabel('H,m'); subplot(2,1,2);plot(t,x0(2)+x(:,2),'r');grid;xlabel('t,c');ylabel('Q_1,m^3/c');

В результаті виконання послідовності операторів файлу grafrez.mотримаємо:

a=-62.746 20.371

0 -1.212

b=1.0e-006*0.9541

0

Та графіки залежності та рис.3.

Рис.3. Графіки залежності та в лінійній моделі