
- •Відношення, їх властивості та операції над ними методичні вказівки
- •6.050103 “Програмна інженерія”
- •Відношення, їх властивості та операції над ними
- •Поняття відношення. Задання відношень
- •3. Властивості бінарних відношень
- •4. Операції над відношеннями
- •5. Відношення еквівалентності
- •6. Відношення часткового порядку
- •7. Приклади виконання практичних завдань
- •8. Завдання до виконання
- •Контрольні запитання.
- •Список літератури
- •Відношення, їх властивості та операції над ними методичні вказівки
- •6.050103 “Програмна інженерія”
6. Відношення часткового порядку
Означення
6.1. Відношення
на
множині А
називають
відношенням
часткового порядку
(або
частковим
порядком),
якщо
воно рефлексивне, антисиметричне
й транзитивне. Множину А
із
частковим порядком
називають
частково
впорядкованою множиною й
позначають (A,
)
Приклад
6.1.
Нехай
A={
1, 2, 3, 4, 5}. Відношення
задамо
як
звичайне порівняння чисел: (а,b)
тоді
й тільки тоді, коли а
b,(а,b
А).
Неважко
безпосередньо переконатись, що це
відношення є
частковим порядком на множині А.
▲
Приклад
6.2.
Нехай
A={1,
2, 3, 4, 6, 8, 12}.
Відношення
задамо так: (а, b)
тоді
й тільки тоді, коли а
ділить
b.
Отже:
={(1,1),
(2,2), (3,3), (4,4), (6,6), (8,8), (12,12), (1,2), (1,3), (1,8),
(1,12),
(2,4), (2,6), (2,8), (2,12), (3,6), (3,12), (4,8), (4,12),
(6,12)}. Легко переконатись, що це відношення
рефлексивне, антисиметричне
й транзитивне й, отже, є відношенням
часткового порядку
на множині А.
▲
Означення
6.2. Два
елементи а
та
b частково
впорядкованої множини (А,
R)
називають
порівняльними,
якщо
аb
або
b
а.
Якщо
а
та
b
такі
елементи,
що ані а
b,
ані
b
а,
то
їх називають непорівняльними.
Приклад
6.3
Елементи
3 та 4 множини (А,
)
із
прикладу
6.2–
непорівняльні. ▲
Означення
6.3. Якщо
(А,
)
частково
впорядкована множина, у якій будь–які
два
елементи порівняльні, то таку множину
називають тотально
або
лінійно
впорядкованою, а
частковий порядок
називають
тотальним
або
лінійним
порядком. Отже,
множина (А,
)
із
прикладу
6.1
лінійно впорядкована, множина (А,
)
із прикладу
6.2
частково впорядкована, але не лінійно
впорядкована. Лінійно впорядковану
множину називають також ланцюгом.
Приклад
6.4.
Нехай
А=–множина
всіх булевих векторів довжини
п.
Визначимо
частковий порядок на цій множині так:
(а1,а2,..
.,
аn)<(b1,b2,...,
bn)
тоді
й тільки тоді, коли aі
bі
(i=1,2,..
.,п).
Цей частковий порядок не є лінійним
порядком. Наприклад, не можна порівняти
вектори (010000) та (101000). ▲
Матриця відношення часткового порядку. Оскільки відношення часткового порядку є рефлексивним, головна діагональ матриці цього відношення містить одиниці. Через те що воно є асиметричним, жоден одиничний елемент не має симетричного собі відносно головної діагоналі. Оскільки це відношення є транзитивним, наявність одиниць на перетині i-го стовпця та j-го рядка й одиниці на перетині j-го стовпця і k-го рядка спричинює наявність одиниці на перетині i-го стовпця та k-го рядка.
Означення
6.3. У
частково впорядкованій множині (А, )
запис а
b
означає, що (а,
b)
.
Запис а<b
означає, що а
b,
але а
b.
Якщо а<b,
то кажуть, що а
передує
b
(а
менше
b)
або b
виходить
з а
(b
більше
а).
Елемент b
А
безпосередньо
виходить з
а
А
тоді й лише тоді, коли а<b
і не існує такого c
А,
що а<c<b.
У такому випадку кажуть також, що елемент
а безпосередньо
передує
елементу b.
Приклад 6.5.
Для відношення часткового порядку =
“ділиться
націло на”
на множині A= {1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28} матриця
відношення має такий вигляд:
|
1 |
2 |
3 |
4 |
6 |
7 |
12 |
14 |
21 |
28 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
6 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
12 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
14 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
21 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
28 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Діаграмма Хассе.
Розглянемо частково впорядковану
множину (А,
).
Зобразимо кожний елемент
А
точкою
на площині й розглянемо всі впорядковані
пари (
,
).
Зобразимо точку
вище точки
тоді
й лише тоді, коли
<
і з’єднаємо точки
та
лінією, якщо
безпосередньо виходить з
.
Результатом процесу є діаграма Хассе:
у цій діаграмі існує шлях, який веде від
точки
до точки
,
якщо
<
.
Зазначимо, що
символ
використовують для позначення довільного
відношення часткового порядку.
Елементи частково
впорядкованих множин, які мають певні
екстремальні властивості, є дуже
важливими в багатьох застосуваннях.
Елемент частково впорядкованої множини
називають максимальним,
якщо він не менший від будь-якого елемента
цієї множини. Отже, а
є максимальним елементом частково
впорядкованої множини (А,),
якщо не існує такого b
А,
що a<b.
Аналогічно, елемент називають мінімальним,
якщо він не більший від будь-якого
елемента частково впорядкованої множини.
Отже, а
є мінімальним, якщо не існує такого b
А,
що b<а.
Максимальні та мінімальні елементи
легко визначити на діаграмі Хассе –
це, відповідно, “верхні”
і “нижні”
її елементи (“верхні”
елементи не мають висхідних ребер, а
“нижні”
– низхідних).
Приклад 6.6.
На множині А={2,
4, 5, 10, 12, 20, 25 } задано відношення часткового
порядку ={(а,
b) | а ділить
b}.
Знайдемо максимальні й мінімальні
елементи множини (А,
).
Діаграму Хассе для цієї множини зображено
на рис. 6.3.
Із цієї діаграми робимо висновок, що
максимальні елементи 12, 20 та 25, а мінімальні
– 2 та 5. Цей приклад свідчить, що частково
впорядкована множина може мати понад
один максимальний або мінімальний
елемент. ▲
Рис. 6.1. Діаграма Хассе