4.2. Функції належності

Вибір виду функцій належності та їх параметрів значною мірою визначається досвідом, інтуїцією та іншими суб’єктивними факторами, в тому числі особою, яка приймає рішення – (ОПР). Тут саме і виникають нові невизначеності суб’єктивного характеру.

Приклади.

• ф

  

  1

  ункції степенів належності твердження “величина х мала” , (4-15)

х

0. а

   0

   х



(х)=e^-кх; к>0 (4-16)

1/к



х

11

(х)= (4-17)

а₁ а₂

• функції степенів належності твердження “величина х велика”

μ

1

(4-18)

х

а

μ

(4-19)

х

α α+1/к

• функція степенів належності твердження “величина |х| мала”

μ

(х)=(4-20)

х

-α α

Те ж, “величина |х| велика”

μ

(х)=(4-21)

х

-α α

Функція степенів належності може задаватись:

• самостійно дослідником, на основі власного досвіду; - в простому випадку;

• із залученням експертів, обробкою іх оцінок – для складних та відповідальних випадків.

Важливість використання логіко-лінгвістичних змінних обумовлена причинами:

• не всі критерії оптимізації можуть задаватись кількісно;

• між рядом параметрів, які впливають на функціонування АТК, не вдається встановити точних кількісних залежностей;

• процес оптимізації в АТК – багатокроковий, а зміст кожного кроку не завжди можна визначити однозначно;

• існуючі способи опису самих АТК (їх структури) та процесів в них – дають громіздкі залежності, їх важко або неможливо використовувати;

• в змінюваних умовах зовнішнього середовища та властивостей АТК утруднюються процеси адаптації, тим більше, що окремі підсистеми мають активну природу, тобто є людино-машинними.

Процедури завдання дослідником функції належності в нечітких підмножинах:

• визначається діапазон зміни величини параметра х  Х з множини Ω;

• знаходять відображення φ: Ω→U, де U  [0,1]. В якості φ може бути використане будь-яке перетворення, зокрема лінійне;

• величина параметра х  Х описується словесно множиною термінів Q, наприклад Q^Δ= {високий, дуже високий, не високий, низький, дуже низький і.т.д.}. Потрібно, щоб в Q були відсутні терміни – синоніми, в противному випадку проводять їх класифікацію у відповідності з термінологією, яка існує в цій галузі (температура 120⁰ в цукровій промисловості – висока, в металургії – дуже низька);

• на множиніQ вводиться термін q₀  Q – “норма”, а відносно нього симетрично визначається терміном q_к  Q, к=1,n та протилежні ім за смислом q_e  Q, e=1,n;

• функції належності μ_j(U), j=1, (2n+1), встановлюють відповідність Q→U з точністю до якісних відмінностей первинних термінів та прийнятих операцій над нечіткими множинами;

• термін “норма”, тобто q₀  Q і u₀  U визначає і форму функції μ(U), а також вимагає виконання таких асимптотичних властивостей:

lim μ(U)=a; lim(U)=b (4-22)

U→0 U→1

a, b – постійні для даного терміна.

μ(U)

1

0,5

U

U_а U₀U_b 1

Рис.4.3. Функція степені належності μ(U), яка формалізує термін «високий»

U₀ – опорний елемент U₀  U, який відповідає поняттю “норма”. Як правило – це 0,5 ( μ(U₀)=0,5). Звичайно, тут є значний суб’єктивізм відносно вибору U₀

Умова lim μ(U)=0 означає, що елементи U‹ U₀ в меншій степені

U→0

можна віднести до терміну “високий”, чим U₀.

Умова lim μ(U)=1 показує, що для U › U₀ степінь належності до

U→1

терміну “високий” зростає.

Нечітка множина, яка формується, вважається нормальною при

sup μ(U)=1 (4-23)

u  U

Враховуючи асимптотичні властивості функції μ(U), дослідник може встановити інтервали [0,U_a] та [U_b,1], на яких функція задається чітко класифікацією

μ(U)=(4-24)

Найскладніше задати μ(U) при U [ U_a, U_b]. На цьому інтервалі для будь-якого U [ U_a, U_b] дослідник задає μ(U) в залежності від різниці (U-U₀) з урахуванням знаку. Приймається, що функція μ(U) є монотонною, а розриви можуть бути за умови, що в процесах трапляються “катастрофи”, тобто система стає нестійкою.

Для визначення функцій степені належності експертами рекомендуються такі процедури:

1.Виділення точкиu₁  U на універсальній шкалі, яка, за думкою експерта, точно відповідає нечіткій множині. В цьому випадку μ(U₁)=1. Це розглядається на випадок, коли для формалізації термінів приймаються три елементи U_i(і=1,3) універсальної множини U. Для зменшення психологічного навантаження на експерта кількість термінів необхідно зменшувати. На рис. – спосіб завдання функцій належності, за допомогою яких формалізуються поняття “низький”, “середній”, “дуже високий”

μ(U)μ(U)μ(U)

u u u

U₁ U₃ U₂ U₁ U₃ U₂ U₁

μ₁ – “низький” μ₂ – “середній” μ₃ – “дуже високий”

2.Знаходження на універсальній шкалі зліва та справа від U₁ точок, які, на думку експерта, не можна відносити до цього терміну. Це точки U₂ та U_3, для яких μ(U₂)= μ(U₃)=0.

3. Графічна побудова функцій за обраними точками при умові лінійної апроксимації.

4. Виділення підмножини U₁ ≤ U, на якій визначена формалізація терміну, U₁=[ U_{2 ,}U₃]. Часом точки U₂, U₃ можуть відноситись в нескінченність.

Це – один з найбільш простих способів.

При управлінні технологічними установками діапазон зміни кожного параметра задається відрізком (технологічні параметри – нечіткі підмножини деяких універсальних множин)

х_і=[a_i^min, а_і^max]; у_і=[b_j^min, d_j^max]

кожен з відрізків розбивають на інтервали, наприклад:

a_i^min=a_i1 ‹ a _i2 ‹...‹ a_ik= а_і^max

Значення величини параметра, яке знаходиться в одному з інтервалів, словесно характеризують термінами “малий”, “середній”, “великий”. Тоді функція належності в нечітких підмножинах, які формалізують прийняті терміни, описують залежністю:

μ(х_і)=exp(-Q_i| x_i - a_ip¹|) (4-25)

Q – постійна величина, яка знаходиться при ідентифікації функції належності:

а_ір¹=(а_іr+ а_іr+1)/2

Приклад

Параметр	Діапазон зміни	Термін, інтервал дискретизації	Функція
Витрата, м3/с	70-110	мала: 70 - 80 середня: 80 - 90 велика: 90 - 110	exp(-) exp(-) exp(-)
Температура, 0С	480-490	мала: 480 - 482,5 середня: 482,5 - 485 висока: 485 - 490	exp(-) ...| y1 - 483,75| ...| y1 - 487,5|