Варіант № 3

1. Моделі перетворення характеристик сигналів з різною формою невизначеності

2. Правила перенесення вузлів в лінійних системах, які не розкладаються на типові структури.

3. Система має структуру, показану на рисунку

Використовуючи пакет моделювання Mathcad, виконати імітаційне моделювання і ідентифікацію системи:

а) створити дискретну програмну модель нелінійного і динамічного блоків системи;

б) згенерувати послідовність з 500 значень x з нормальним законом розподілу, вважаючи, що інтервал часу між значеннями складає 0,1с;

в) для кожного значення x знайти відповідне значення y з урахуванням попередніх значень (урахування інерційності);

г) знайти параметри і скласти рівняння регресії .

1 Моделі перетворення характеристик сигналів з різною формою невизначеності

Моделювання перетворення стохастичних даних

Задача перетворення стохастичних даних може бути сформульована таким чином.

Нехай задане перетворення , деx_i – випадкові величини (процеси), які задані певною підмножиною С_x генеральної сукупності С_0X своїх характеристик. Необхідно знайти відповідні характеристики С_y результату перетворення.

В залежності від вигляду перетворення F розрізняють нелінійні статичні, лінійні динамічні і нелінійні динамічні перетворення. Нелінійне статичне перетворення – це таке, що може бути подане у вигляді функціональної залежності. Лінійне динамічне перетворення – це таке, що може бути подане лінійним диференціальним рівнянням. При нелінійних статичних перетвореннях відносно просто визначити функції розподілу ймовірностей результату та їх характеристики і важко визначити кореляційні і спектральні характеристики, а при лінійних динамічних перетвореннях навпаки. Крім того, точні розв’язки цих задач існують далеко не для всіх випадків. Найбільші проблеми складає моделювання нелінійних динамічних перетворень. Найчастіше такі перетворення подаються сукупністю нелінійних статичних і лінійних динамічних перетворень.

Лінійне статичне перетворення характеристик сигналів показане в табл.

Перетворення характеристик випадкових сигналів

Характеристика	Рівняння перетворення сигналу	Рівняння перетворення характеристики
Математичне сподівання
Дисперсія
Кореляційна функція
Спектральна щільність потужності
Щільність розподілу ймовірностей

Для моделювання перетворення стохастичних даних в динамічних процесах існує багато методів. Найпоширенішими серед них є рівняння Колмогорова, прямий метод визначення кореляційної функції, метод контурних інтегралів, метод похідних, метод твірних функцій.

Кореляційна функція результату лінійного динамічного перетворення знаходиться за допомогою рівняння Вінера-Хопфа, яке аналогічне інтегралу Дюамеля

Відповідна енергетична характеристика – спектральна щільність потужності, знаходиться черезчастотну передаточну функцію, яка є Фур’є-зображенням імпульсної перехідної характеристики

звідки

Функція розподілу результату нелінійного статичного перетворення для монотонної функції y = N (x)

де – зворотна функція,

–її похідна.

Методи знаходження кореляційної функції, та енергетичного спектру процесу на виході нелінійного елементу переважно призначені для нормальних розподілів імовірностей вхідних процесів.

Рівняння Колмогорова застосовується для знаходження розподілу імовірності переходу дифузійного марківського процесу. Оскільки нормальний випадковий процес з експоненціальною кореляційною функцією є дифузійним марківським процесом, то рівняння Колмогорова для нього теж виконуються. Перше рівняння Колмогорова має вигляд:

де ,

i скінченні( відмінно від нуля) та ≡ 0 при k ≥ 3,

f_X1X2 (t,t₁) – двовимірна функція розподілу.

Друге рівняння Колмогорова відоме також як рівняння Фоккера–Планка має вигляд

де є коефіцієнт зносу,

- коефіцієнт дифузії.

Обидва рівняння (4.30) і (4.31) належать до класу параболічних диференціальних рівнянь у часткових похідних.

Для нормального випадкового процесу умовна функція розподілу з нульовим середнім, дисперсією σ² і коефіцієнтом кореляції r, має вигляд [7]:

, (f_X1X2(0,t₁)=δ(x₂-x₁).

Головним недоліком рівнянь Колмогорова є те, що вони призначенні лише для нормальних розподілів з експоненціальною кореляційною функцією.

Прямий метод визначення кореляційної функції при нелінійному перетворенні базується на розкладенні у ряд та двовимірній щільності імовірності процесу на вході нелінійного перетворення. Кореляційна функція розраховується за формулою:

де ,

,

N(x) – функція характеристики нелінійного елементу;

f_Х(x) – одновимірна функція розподілу імовірностей;

f_Х1Х2 (x₁,x₂,) – двовимірна функція розподілу;

Q_n(x₁) і Q_n(x₂) – системи ортогональних поліномів.

Якщо випадковий процес є сумою детермінованого процесу S(t) і стаціонарного нормального x(t) з нульовим середнім, то його кореляційна функція розраховується за формулою

.

Якщо детермінована частина нормального процесу відсутня (s≡0), то кореляційна функція має вигляд

,

де ,

H_n (x) – поліном Ерміта n-го порядку.

Функція N(x), яка є аналітичним поданням характеристики нелінійного перетворення, апроксимується степеневими рядами або параболою.

Інший метод – метод контурних інтегралів. Він полягає у використанні того, що характеристики деяких нелінійних елементів можна подати через контурний інтеграл вигляду

де .