Лабораторна робота №7 на тему: „ Розв’язання звичайних диференціальних рівнянь ”.

Мета роботи: вивчення методів чисельного диференціювання та набуття навичок рішення задачі Коші за допомогою ЕТ Excel та МП MathCad.

Теоретичні відомості.

Диференціальне рівняння називається звичайним, якщо невідома функція є функцією однієї змінної, і диференціальним рівнянням в частинних похідних, якщо невідома функція є функцією багатьох змінних.

Таким чином, звичайним диференціальним рівнянням називають рівняння виду:

, (38)

де x – незалежна змінна; y = y(x) – невідома функція;  відповідно похідні цієї функції порядку 1, 2,…,n.

Розв’язком диференціального рівняння (38) на деякому інтервалі (a;b) називається диференційована на цьому інтервалі функція y = y(x), яка при підстановці в рівняння (38) перетворює його в тотожність по x на (a;b).

Кожне диференціальне рівняння має безліч розв’язків . Щоб знайти частинний розв’язок рівняння необхідно, задати додаткові умови. Залежно від способу задання додаткових умов розрізняють два типи задач: задача Коші і крайова задача.

Якщо додаткові умови задаються в одній точці, то така задача називається задачею Коші, а ці умови  початковими умовами.

Якщо додаткові умови задаються більш ніж в одній точці, то така задача називається крайовою задачею, а умови  крайовими або граничними.

В лабораторній роботі набудемо навичок рішення задачі Коші.

Задача Коші полягає в тому, щоб знайти розв’язок y(x) звичайного диференціального рівняння першого порядку

, (39)

який задовольняє початкову умову

. (40)

З погляду геометрії розв’язати задачу Коші  це означає виділити з множини інтегральних кривих (розв’язків) ту, яка проходить через задану точку .

Для розв’язання задачі Коші широко використовують чисельні методи, які дають наближений розв’язок диференціального рівняння у вигляді таблиці значень. В основі цих методів лежить покроковий принцип визначення шуканої функції. Найпоширенішими є методи Ейлера та Рунге – Кутта.

Метод Ейлера . При пошуку чисельного розв’язку задачі (39),(40) відрізок інтегрування [x₀, b] розбивають на n рівних частин. Довжина кожної із утворених частин дорівнює . Точки розбиття будуть:, якщо відоме значенняв точці.

Наближене значення в точціобчислюється за формулою:

(41)

Оцінка похибки здійснюється за принципом Рунге (правило подвоєння):

, (42)

де – значення розв’язку в точці , отримане за методом Ейлера з крокомh, - значення розв’язку в тій же точціx, але отримане з кроком рівним 2h.

Метод Рунге – Кутта. Метод Рунге – Кутта четвертого порядку дає рішення задачі Коші більш точне ніж в попередньому методі.

Відрізок інтегрування [x₀, b] розбивається на n рівних частин. Довжина кожної із утворених частин дорівнює . Точки розбиття будуть:, якщо відоме значенняв точці.

Наближене значення в точціобчислюється за формулами:

, (43)

де

Оцінка похибки здійснюється за принципом Рунге (правило подвоєння):

, (44)

де – значення розв’язку в точці , отримане за методом Рунге – Кутта з крокомh, - значення розв’язку в тій же точціx, але отримане з кроком рівним 2h.

Приклад виконання лабораторної роботи.

Завдання: Розв’язати задачу Коші :

на відрізку інтегрування [1;2] для n=5, n=10 та n=20.

Рішення задачі реалізувати в середовищах ЕТ Excel та MathCad.

Виконання:

1. Реалізація метода Ейлера в середовищі ЕТ Excel.

   1. Ввести в комірку А1 текст Рішення звичайних диференціальних рівнянь методом Ейлера.

   2. Ввести у відповідні комірки текстові дані:

Комірка: Текст:

А2 n=5

D2 n=10

G2 n=20

A3 x

B3 y(x)

D3 x

E3 y(x)

G3 x

H3 y(x)

3. Ввести в комірку А4 значення x₀ (значення 1).

4. Ввести в комірку А5 значення x₀+h (значення ).

5. Виділити комірки А4:А5 і перетягнути маркер заповнення до комірки А9 для заповнення таблиці значеннями x.

6. В комірку В4 ввести початкове значення y₀ (значення 0,3).

7. В комірку В5 ввести формулу методу Ейлера ( =B4+(A5-A4)*(SIN(A4)+0,5*B4^2) ).

8. Скопіювати формулу з комірки В5 в комірки В6:В9 .

Аналогічно заповнити таблиці для n=10 та n=20 (п.1.3-п.1.8).

В режимі формул таблиця має вигляд

2. Реалізація метода Рунге-Кутта в середовищі ЕТ Excel.

1. Ввести в комірку А1 текст Рішення звичайних диференціальних рівнянь методом Рунге – Кутта.

2. Ввести у відповідні комірки текстові дані:

Комірка: Текст:

A3 x

B3 y(x)

3. Ввести в комірку А4 значення x₀ (значення 1).

4. Ввести в комірку А5 значення x₀+h (значення ).

5. Виділити комірки А4:А5 і перетягнути маркер заповнення до комірки А14 для заповнення таблиці значеннями x.

6. В комірку В4 ввести початкове значення y₀ (значення 0,3).

7. Ввести в комірки C3:F3 відповідні заголовки К1, К2, К3, К4.

8. Ввести в комірку С4 формулу для К1 (=(A5-A4)*(SIN(A4)+0,5*B4^2) ).

Скопіювати цю формулу в комірки С5:С13.

9. Ввести в комірку D4 формулу для К2 (=(A5-A4)*(SIN(A4+(A5-A4)/2)+0,5*(B4+C4/2)^2) ).

Скопіювати цю формулу в комірки D5:D13.

10. Ввести в комірку E4 формулу для К3 (=(A5-A4)*(SIN(A4+(A5-A4)/2)+0,5*(B4+D4/2)^2)).

Скопіювати цю формулу в комірки E5:E13.

11. Ввести в комірку F4 формулу для К4 ( =(A5-A4)*(SIN(A4+(A5-A4))+0,5*(B4+E4)^2) ).

Скопіювати цю формулу в комірки F5:F13.

12. В комірку В5 ввести формулу методу Рунге – Кутта ( =B4+1/6*(C4+2*D4+2*E4+F4) ).

13. Скопіювати цю формулу в комірки B6:B14.

3. Реалізація рішення задачі Коші в середовищі MathCad.

Для наближеного чисельного розв’язування задачі Коші МП MathCad має вбудовану функцію rkfixed(y0,a,b,n,f), що реалізує метод Рунге – Кутта з фіксованим кроком. Звертання до неї здійснюється оператором

,

де y0  початкове значення розв’язку;

a,b  кінці інтервалу, на якому потрібно обчислити розв’язок рівняння (a=x₀);

n  кількість частин, на які розбивають відрізок [a,b];

f  ім’я правої частини диференціального рівняння (39).

Розв’язки, що отримаємо для випадків коли n=5, n=10 та n=20 відповідно назвемо Y1, Y2, Y3. встановимо початкове значення індексів масивів рівним одиниці оператором

Задамо початкову умову:

Запишемо праву частину заданого диференціального рівняння у вигляді

Зауваження: зверніть увагу на те, що в правій частині запису ім’я невідомої функції з індексом  y₁. Це тому, що вбудовані в MathCad процедури розв’язування диференціальних рівнянь призначені для систем. В нашому випадку маємо “систему” із одного рівняння із однією невідомою функцією y₁(x). В лівій же частині запису початкової умови y0₁ пишемо також з індексом

Знайдемо три розв’язки задачі Коші (n=5, n=1 та n=20)

Результат розв’язування рівняння подається у вигляді таблиці (матриці)

При побудові графіків отриманих розв’язків, в ролі аргументу виступають перші стовпчики таблиць Y1^<1>, Y2^<1>, Y3^<1>, а на осі ординат вказуємо значення других стовпчиків (значення розв’язку рівнянь у відповідних вузлах) Y1^<2>, Y2^<2>, Y3^<2> .

Оцінка похибки здійснюється за принципом Рунге