- •А.П. Ладанюк
- •Київ нухт
- •Вступ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
- •1.Загальні відомості та класифікація систем автоматичного керування
- •1.1.Основні поняття та терміни
- •Виконання цих операцій забезпечує автоматичний контроль процесу, пуск та зупинку технологічних агрегатів, підтримання необхідних режимів при виконанні вимог надійності та стійкості.
- •1.2.Класифікація систем автоматичного керування.
- •1.3. Принципи керування та їх порівняльна характеристика.
- •Контрольні запитання.
- •2. Математичний опис лінійних систем автоматичного керування
- •2.2. Динамічні характеристики елементів і систем.
- •Лінійні диференціальні рівняння аср в загальному випадку динамічні властивості одноконтурної аср описуються диференціальним рівнянням виду:
- •Приймаючи до уваги, що
- •2.3. Типові елементарні ланки та їх характеристики
- •Перехідна функція підсилювальної ланки
- •Контрольні запитання
- •3.Властивості та характеристики автоматичних систем регулювання.
- •3.1.Структурні схеми та їх перетворення.
- •3.2.Структурна схема та передаточні функції типової замкненої автоматичної системи регулювання.
- •3.3.Об’єкти керування та їх властивості.
- •Модель ідеального змішування. Приймається рівномірний розподіл речовини (енергії) в потоці :
- •3.4.Закони керування та автоматичні регулятори.
- •Т Перехідна функція h(t)аблиця 3.1. Характеристики типових автоматичних регуляторів
- •Контрольні запитання.
- •4. Аналіз стійкості лінійних систем
- •4.2. Алгебраїчні критерії стійкості
- •4.3. Частотні критерії стійкості
- •4.4. Область стійкості. Запас стійкості
- •Контрольні запитання
- •5. Якість перехідних процесів в лінійних автоматичних системах регулювання
- •5.1. Поняття та показники перехідних процесів
- •5.2. Критерії якості перехідних процесів аср
- •5.3. Точність та чутливість аср
- •Контрольні питання
- •6.Методи аналізу і синтезу лінійних систем керувння.
- •6.2.Принципи синтезу алгоритмічної структури системи керування.
- •Розімкнена система.
- •Коли на об’єкт не діє збурення (рис.6.1,а), то передаточну функцію регулятора можна отримати у вигляді :
- •6.3.Часові методи аналізу і синтезу систем керування.
- •6.4. Частотні методи аналізу та синтезу аср.
- •Для систем з і-регулятором (рис.6.12) необхідно враховувати, що кожен вектор афх об’єкта повертається на -900, а довжина змінюється в разів.
- •Таким чином, для того, щоб maxАзд(ω) не перевищував деякої заданої наперед величини, Wзд(jω) не повинна заходити в область, обмежену колом радіусомr(рис.6.17) :
- •6.5. Визначення оптимальних параметрів системи.
- •Визначають параметри регулятора, при яких система має запас стійкості не нижче заданого;
- •З попередньої умови обирають такі настройки, які забезпечують мінімум обраного критерія (лінійного або квадратичного).
- •Контрольні запитання.
- •7. Аналіз і синтез лінійних систем при випадкових сигналах
- •7.1. Постановка задачі та характеристики випадкових сигналів
- •7.2. Перетворення випадкового сигналу лінійною динамічною ланкою.
- •7.3. Обчислення та мінімізація сигналу
- •Основна література
- •Додаткова література
4.2. Алгебраїчні критерії стійкості
Алгебраїчні критерії встановлюють необхідні та достатні умови стійкості на основі визначників, складених з коефіцієнтів характеристичного рівняння системи. Англійський математик Є.Раус (1877 р.) та швейцарський математик А.Гурвіц (1893 р.) в різній формі запропонували критерій, згідно якого умови стійкості зводяться до виконання нерівностей, які зв’язують коефіцієнти рівняння системи. Для розв’язання прикладних задач ці критерії об’єднують в один – Рауса-Гурвіца. В загальному випадку ці критерії призначались для розв’язання чисто математичної задачі – дослідження стійкості розв’язків лінійного диференціального рівняння. Вище було показано, що за допомогою такого рівняння описується поведінка лінійної АСР.
На основі характеристичного полінома:
(4.11)
складається визначник:
(4.12)
Вираз (4.12) називається визначником Гурвиця і при його складанні виконуються правила:
визначник має n рядків та n стовпців, в першому рядку розташовуються “непарні” коефіцієнти, після чого рядок доповнюється до числа n нулями;
другий рядок включає всі “парні” коефіцієнти і також доповнюється нулями до числа n;
третій та четвертий рядки отримують зсувом вправо відповідно першого та другого рядків на один елемент, а зліва проставляється нуль. Аналогічно отримують і наступні рядки;
в головній діагоналі визначника розташовуються всі коефіцієнти, крім .
Критерій стійкості Рауса-Гурвиця формулюється так: автоматична система, яка описуються характеристичним поліномом (4.11) стійка, якщо при визначникта всі його діагональні міноридодатні. (Мінор – визначник, складений з елементів, розташованих на перетині будь-яких k рядків та kстовпців визначника). У виразі (4.12) мінори виділені пунктиром.
Останній стовпець визначника має лише один елемент, тому використовується відома залежність:
, (4.13)
яка розподається на дві за умови :. Коли, система знаходиться намежі стійкості. При цьому при існує один нульовий корінь (аперіодична межа стійкості), а приіснує пара уявних коренів (коливальна межа стійкості).
Розглянемо використання алгебраїчного критерія для системи різних порядків. Для системи першого порядку характеристичний поліном має вигляд:
, (4.14)
а умова стійкості:
. (4.15)
Для системи другого порядку:
, (4.16)
, (4.17)
Таким чином, для системи першого і другого порядків необхідною і достатньою умовою стійкості є додатність всіх коефіцієнтів характеристичного рівняння.
Для системи третього порядку:
, (4.18)
(4.19)
Умови стійкості:
(4.20)
Остання нерівність за умови потребує. Таким чином, для системи 3-го порядку забезпечення стійкості вимагає не лише додатності всіх коефіцієнтів характеристичного рівняння, а й певного співвідношення між ними.
Для системи 4-го порядка:
(4.21)
(4.22)
Умова стійкості:
(4.23)
Для систем високих порядків () використання алгебраїчного критерія Рауса-Гурвиця стає незручним і потребує громіздких виразів. Крім того, цей критерій не дає можливості визначити, які заходи необхідно здійснити для забезпечення стійкості.
В теорії автоматичного керування використовується також алгебраїчний критерій Льєнара-Шіпара (1914 р.), який спрощує використання критерія Рауса-Гурвиця. Доведено, що необхідною і достатньою умовою стійкості при є вимога додатності всіх визначників з парними індексамиабо всіх визначників з непарними індексами.