Зворотні (симетричні) рівняння

Рівняння вигляду

називається зворотним. Воно зводиться до квадратного рівняння заміною . Поділимо рівняння (23) на. Отримаємо рівняння

.

. Після заміни отримаємо квадратне рівняння

.

Приклад. Розв’яжемо зворотне рівняння

.

Поділимо рівняння на і покладемо.

, .

Розв’яжемо рівняння

,

, .

Приклад. Розв’яжемо рівняння

.

Заміна приводити це рівняння до квадратного

, .

Розв’яжемо рівняння

, ,

, .

Заміна вигляду (24)

Приклад. Розв’яжемо рівняння

.

Виконаємо заміну перемінних

, ,,.

Вихідні рівняння зводяться до квадратного

, .

Розв’яжемо рівняння

, ,

, .

Розглянемо загальне рівняння четвертого порядку

(25)

і знайдемо умови коли можна виконати заміну вигляду (24).

Поділимо рівняння на . Отримаємо рівняння

.

Якщо вводитися позначення ,

.

У рівняння можна виконати заміну, якщо

(26)

Приклад. Розв’яжемо рівняння

.

Маємо . Умову (26) виконано. Поділимо рівняння на

.

Після заміни ,отримаємо рівняння

, .

Розв’яжемо рівняння

, ,

, .

Алгебраїчне рівняння четвертого степеня (25) називається зворотним, якщо коефіцієнти рівняння зв’язані рівняннями

, .

так як виконано умову (26).

Зворотне рівняння має вигляд

.

Після ділення на отримаємо рівняння

.

Заміна зводимо рівняння до квадратного

.

Однорідні рівняння

Рівняння вигляду

(27)

називається однорідним. Якщо багаточлен не має загальних коренів, те поділимо рівняння (27) наабоі зводимо рівняння (27) до квадратного

, .

Приклад. Розв’яжемо рівняння

.

Поділимо рівняння на і отримаємо квадратне рівняння

, .

З рівнянь знаходимо корені

, ,,

, ,.

Рівняння виду

де вираження поділяється на.

Це рівняння зводиться до однорідного (указав Саушкін О. Ф.).

Приклад. .

Різниця поділяється на.

Рівняння можна записати у виді

чи

.

Поділимо рівняння на й одержимо квадратне рівняння

.

Знаходимо . Вирішуємо рівняння

.

Приклад. Вирішимо рівняння

рівняння можна записати у виді однорідного

.

Поділимо рівняння на

.

Думаючи приходимо до квадратного рівняння

.

Вирішуємо рівняння

.

Рівняння виду зводиться до біквадратного рівняння заміною

.

Приклад .

Уводимо заміну .

Одержимо рівняння .

Розкриваючи дужки, одержимо рівняння

.

Аналогічно зважуються рівняння більш високого ступеня.

Приклад. Вирішимо рівняння

.

Покладемо заміну .

Одержимо рівняння

чи

.

Після скорочення на одержимо біквадратне рівняння

.

Вирішимо рівняння:

.

Остаточно знаходимо значення

.

Рівняння виду зважується виділенням повного квадрата.

.

Приклад. Вирішимо квадратне рівняння

.

Запишемо рівняння у виді

,

.

Думаючи , получимквадратное рівняння

.

Вирішуємо рівняння

.

Приклад. Вирішимо рівняння

.

Виділимо повний квадрат

,

думаючи ,

одержимо квадратне рівняння

.

Вирішуємо рівняння

.

4.10. Метод Кардано для рішення кубічного рівняння

При рішенні кубічного рівняння

.

Заміна дозволяє привести рівняння до виду

. (28)

Рішення урвнения (28) шукається у виді суми

,

.

Рівняння зводимо до системи рівнянь

.

Оскільки , те одержимо рівняння. Виключаємо невідоме

.

З квадратного рівняння знаходимо , а потім.

Приклад. Вирішимо рівняння

.

Думаючи , приходимо до рівняння

Зводимо рівняння до системи рівнянь

З рівняння знаходимо

.

З квадратного рівняння знаходимо.

1. ;

2. .

При і приодержуємо одне значення. Інші рішення знаходяться при використанні комплексних чисел.

98