Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
elem_mat / R_4.doc
Скачиваний:
52
Добавлен:
11.02.2016
Размер:
1.76 Mб
Скачать

Використання теореми Гаусса

Якщо багаточлен не має раціональних коренів, те використання схеми Горнера даремне, так як неможливо угадати ірраціональні корені.

У цьому випадку можна покладатися розкласти багаточлен з цілими коефіцієнтами на квадратні множники з цілими коефіцієнтами.

Приклад. Розв’яжемо рівняння

.

Це рівняння не має раціональних коренів.

Спробуємо розкласти багаточлен на два квадратні множника з цілими коефіцієнтами

.

Розкриваючи дужки і прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях , приходимо до системи рівнянь

Отут — цілі числа. З останнього рівняння знаходимо, що можливі випадки

1) , 2), 3), 4),

5) , 6), 7), 8).

Оскільки квадратичні множники перестановочні те випадки 1 – 4 повторюють випадки 5 – 6. Томові будемо розглядати лише випадки 1 – 4.

1) . З системи рівнянь

знаходимо .

Оскільки не являється цілим числом, те розкладення на квадратичні множники з цілими коефіцієнтами неможливі.

2) . З системи рівнянь

знаходимо .

Число не являється цілим числом.

3) . З системи рівнянь

знаходимо .

Число не являється цілим числом.

4) ю З системи рівнянь

знаходимо .

Перевіримо виконане рівняння ,. Отримаємо розкладання на множники

і розв'яжемо квадратні рівняння.

, ,

, .

Коренями рівняння являються ірраціональні числа.

Викладений спосіб розкладання на множники можна застосовувати і у випадку, коли рівняння має раціональні корені.

Приклад. Розв’яжемо рівняння

.

Шукаємо розкладання на квадратні множники

.

Приходимо до системи рівнянь для цілих коефіцієнтів .

Пробуємо випадки . Приходимо до системи рівнянь

з яких знаходимо розкладання на множники

.

, ,

, .

4.9. Рівняння, зведені до квадратних рівнянь

Укажемо типи рівнянь, які зводяться до квадратних.

Двочленні рівняння

Двочленними називаються рівняння виду

, .

Розв’язок рівнянь складається в розкладанні рівняння на множники.

Приклад. ,

, ,.

Тричленні рівняння

Тричленними рівняннями називаються рівняння виду

, .

Заміна зводимо тричленні рівняння до квадратного.

Приклад. Розв’яжемо рівняння

, ,,,,

, .

При тричленні рівняння називається біквадратним.

Приклад. ,

, ,,,,

, .

Заміна в рівнянні. Розв’яжемо рівняння

.

Покладемо і отримаємо квадратні рівняння

, ,,

, ;,.

Попереднє перетворення рівнянь

Рівняння вигляду

.

Поділимо чисельник і знаменник шкірного дробу на

і заміна зводимо рівняння до квадратного рівняння.

Приклад. Розв’яжемо рівняння

.

Поділимо чисельник і знаменник на

.

Заміна зводимо до квадратного рівняння

, .

Знаходимо розв'язок рівняння

, .

, .

Приклад.Розв’яжемо рівняння

Поділимо чисельник і знаменник дробів на

.

Заміна приводити до рівняння

, ,.

, .

, ,.

Рівняння вигляду ,(20)

Групуємо членуй

.

Заміна зводиться до квадратного рівняння

.

Приклад. Розв’яжемо рівняння

.

Розкладемо на множники

.

Оскільки , те групуємо перший і останній множник і середні множники

, ,,

, .

, ,

, .

Приклад. Розв’яжемо рівняння

.

Щоб звести до рівняння вигляду (20) помножимо третій і четвертий множники на 2 і 6. Отримаємо

.

Оскільки 5 + 5 = 4 + 6, то групуємо перші і останні множники

.

Позначимо ,,

, ,

, ,.

Приклад. Розв’яжемо рівняння

.

Приводимо рівняння до вигляду 20

.

Оскільки – 1 – 4 = – 2 – 3, то групуємо граничні і середні членуй

.

, ,.

Розв’яжемо рівняння

, ,

, ,.

Рівняння вигляду (21)

Поділимо рівняння на і отримаємо рівняння

.

Заміна приводимо рівняння до квадратного

.

Приклад. Розв’яжемо рівняння

.

Рівняння не має кореня , поділимо рівняння на

.

Виконаємо заміну . Отримаємо квадратне рівняння

, .

Розв’яжемо рівняння

,

, .

Приклад. Розв’яжемо рівняння

.

Щоб звести рівняння до рівняння вигляду (21) впровадимо ,. Отримаємо рівняння вигляду (21)

.

Поділимо рівняння на

.

Покладемо рівняння на і отримаємо квадратне рівняння,.

Розв’яжемо рівняння

, ,,

, ,.

Рівняння вигляду (22)

Поділимо дві частини рівняння на . Отримаємо рівняння

.

яку заміною зводиться до квадратного

.

Приклад. Розв’яжемо рівняння

.

Поділимо рівняння на

.

Заміна приводимо до квадратного рівняння

, ,.

Розв’яжемо рівняння

, ,

, .

Соседние файлы в папке elem_mat