7.13. Рішення, засновані на обмеженості функцій
Розглянемо кілька рівнянь, рішення яких засновано на обмеженості тригонометричних функцій.
Приклад. Вирішити рівняння
.
Оскільки значення косинуса обмежені одиницею, то рівняння зводиться до системи рівнянь
.
Приклад. Вирішити рівняння
,
що зводиться до системи рівнянь
,
,
;
,
,
,
.
Щоб система рівнянь мала рішення необхідне виконання рівняння
,
,
,
.
Підбираємо
частка рішення рівняння для цілих числі
,
.
Нехай
,
тоді
.
Виконаємо
заміну
,
,
,
.
Приходимо
до рівняння
для
.
Знаходимо
,
,
і рішення
,
.
7.14. Системи тригонометричних рівнянь
Виводять невідоме з під знака тригонометричних функцій, використовуючи властивості тригонометричних функцій.
Приклад.
Складаючи і віднімаючи рівняння одержимо рівняння
знаходимо рішення рівнянь
.
Складаючи
і віднімаючи рівняння знаходимо невідомі
,
,
.
Приклад.
Щоб
виключити
зводимо рівняння в квадрат і складаємо
,
,
1.
,
.
2.
,
,
.
Приклад.
Знайти всі значення
,
при яких системарівняння
має розв’язки
і розв’язати
систему:
.
Складаючи і віднімаючи рівняння знаходимо рівняння
,
.
Щоб ці рівняння мали рішення необхідне виконання нерівностей
,
,
що
мають рішення
.
Із системи рівнянь знаходимо
.
Складаючи і віднімаючи рівняння, знаходимо невідомі
,
.
Приклад.
.
Перше рівняння перетвориться до виду
,
.
З рівнянь знаходимо невідомі
.
Приклад.
.
З першого рівняння знаходимо
1)
,
,
2)
,
,
,
,
.
Значення
не задовольняє рівнянню, отже
,
,
,
,
.
Приклад.
.
Позначимо
,
і із системи рівнянь
знаходимо рішення
1)
2)
Приклад.
.
Запишемо
друге рівняння у виді
,
відкіля одержимо систему рівнянь
.
З рівнянь знаходимо невідомі
.
Приклад.
.
Перше рівняння розкладається на множники.
1)
,
,
,
,
,
,
;
,
,
.
2)
,
,
.
Приклад.
.
1)
,
,
,
.
2)
,
,
,
.
Рівняння
не задовольняє системі.
,
,
;
,
.
Питання для самоперевірки
Побудувати графіки зворотних тригонометричних функцій.
Побудувати графіки тригонометричних функцій.
Основні найпростіші тригонометричні рівняння.
Рівність однойменних функцій.
Рішення лінійного рівняння.
Перетворення суми тригонометричних функцій у добуток і перетворення добутку тригонометричних функцій у суму.
Вправи для самостійного розв’язування
Побудувати графіки
, 4.
,
, 5.
,
, 6.
.
Обчислити:
,
,
,
,
Довести рівність
.
Розв’язати рівняння
23.
24.
25.
26.
27.
Розв’язати рівняння
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
, 
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
Вирішити рівняння і знайти корені, розташовані на заданих інтервалах
49.
на
50.
на
51.
на
52.
на
53.
на
54.
на
55.
на
Розв’язати рівняння
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90.
91.
92.
93.
Скільки
розв’язків в інтервалі
має рівняння
94.
(3)
Скільки розв’язків має рівняння
95.
в інтервалі
(10)
Розв’язати рівняння
96.
.