7.8. Лінійне рівняння
Тригонометричне рівняння
(29)
називається лінійним. Воно зводиться до найпростіших рівнянь.
Розділимо
рівняння на вираження
.
Уведемо
допоміжний кут
такий, що
,
.
Рівняння здобуває вид
і може бути записане у виді рівняння
яке має рішення
,
.
Умова можливості розв'язання рівняння (29) має вид
,
.
(30)
Приклад. Знайдемо рішення рівняння
.
Розділимо
рівняння на
чи
,
,
,
.
7.9. Зведення тригонометричного рівняння до алгебраїчного
Тригонометричне
рівняння перетвориться до виду
,
де
— тригонометричне вираження, наприклад
,
,
.
Приклад. Вирішимо рівняння
.
Усі
члени рівняння можна виразити через
функцію
.
Приходимо до рівняння
,
,
.
Рівняння
має рішення
,
.
Рівняння виду
(31)
називається
однорідним. Якщо
,
то після розподілу рівняння на
,
одержимо рівняння
,
.
Приклад. Вирішимо тригонометричне рівняння
,
яких можна записати у виді
чи
.
Це рівняння однорідне і зводиться до рівняння
,
,
,
.
Рівняння має два рішення
,
,
;
,
,
.
Вкажемо в загальному виді типові заміни.
,
;
,
;
,
,
,
;
,
,
.
7.10. Розкладання рівняння на множники
Якщо рівняння удасться розкласти на множники
,
те
можна окремо вирішувати рівняння
,
.
Приклад. Вирішимо рівняння
.
Розкладемо рівняння на множники
.
Оскільки
,
те рівняння приймає вид
і зводиться до двох рівнянь
,
,
,
;
,
,
,
.
Рівняння
входить у рівняння
,
і рішення рівняння
входить в.
7.11. Рівність однойменних функцій
Нехай
деякі вираження, що містять невідоме.
Часто зустрічаються рівняння:
.
Розкладемо на множники
,
,
,
;
,
,
,
.
Таким чином, вихідне рівняння зводиться до рівнянь
,
;
,
.
(32)
Приклад.
Вирішимо рівняння
.
З формул (32) знаходимо рішення:
,
,
,
,
.
Приклад.
Вирішимо рівняння
.
Запишемо рівняння у виді
і знаходимо рішення з рівнянь (32):
,
,
;
,
,
.
2.
Рівняння
можна представити у виді
.
, відкіля
знаходимо рівності
,
;
,
.
(33)
Приклад.
Вирішимо рівняння
з рівнянь (33) знаходимо рішення:
,
,
;
,
,
.
3.
Рівняння
,
можна представити у виді
,
=0,
,
,
.
Таким
чином, рівняння
зводиться до рівняння
,
.
(34)
Приклад.
Вирішимо рівняння
.
З рівняння (34) знаходимо рішення
,
.
При
непарному вираження
,
не існують. Тому одержимо остаточне
рішення
,
,
.
Приклад.
Вирішимо рівняння
.
Запишемо
рівняння у виді
,
і знаходимо рішення (34).
,
,
.
Приклад.
Вирішимо рівняння
.
З рівняння (34) знаходимо
,
,
,
.
Квадратне
рівняння
має дійсне рішення за умови
,
.
Ця
нерівність виконана, якщо
.
При цьому знаходимо рівняння
,
,
.
Остаточно
знаходимо рішення, що залежить від двох
цілих чисел
,
,
,
.
7.12. Перетворення добутків у суми, а сум у добутки
Частина зустрічаються рівняння, що спрощуються при перетворенні добутків у чи суми сум тригонометричних функцій у добутки.
Приклад.
Вирішити рівняння
.
Перетворимо добутку в суми
.
З
рівняння
знаходимо два рішення
,
,
,
,
.
Рішення
містить у собі рішення
.
Приклад. Вирішити рівняння
.
Перетворимо добуток у суми
.
Одержимо рівняння
.
Перетворимо суми в добутки
.
Остаточно приходимо до рівняння
.
Маємо рівняння і їхнє рішення:
,
,
,
,
,
,
,
,
,