3.3. Обчислення ірраціональних виразів

За допомогою властивостей коренів можна спрощувати й обчислювати ірраціональні вирази.

Приклад. Обчислити вираз

.

Виконаємо послідовно дії:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

Приклад. Обчислити вираз:

• Виконаємо дії.

,

,

,

,

.

Часто використовується формула подвійного радикала:

(8)

Приклад. За формулою (8) знаходимо:

.

.

Приклад. Обчислити вираз

• За формулою (8) знаходимо:

Остаточно дістаємо:

.

Аналогічно обчислюються кубічні корені. Маємо:

.

Підносимо обидві частини рівності до куба:

.

Порівнюючи вирази при , дістаємо однорідну систему рівнянь:

.

Поділивши рівняння почленно, приходимо до рівняння для :

.

Приклад. Обчислити значення радикала

.

• Після піднесення до куба рівняння приходимо до системи рівнянь:

.

Поділивши почленно перше рівняння на друге, дістанемо рівняння для :

.

За схемою Горнера знаходимо корінь .

Із системи рівнянь і рівняння знаходимо . Отже, .

Приклад. Обчислити .

• Візьмемо . Підносячи обидві частини рівняння до куба, дістаємо , звідки випливає система рівнянь

Система рівнянь має очевидний розв’язок .

Тому . Обчислюємо радикал

Остаточно маємо .

Приклад. Обчислити .

• Оскільки , то . Далі маємо:

.

Отже, .

Приклад. Обчислити вираз .

• Піднесемо рівняння до куба, скориставшись рівністю .

Дістали для кубічне рівняння

, або ,

має корені .

У множині дійсних чисел маємо корінь, .

3.4. Оцінки для радикалів

Якщо то , або

. (1)

Цю нерівність можна використовувати для доведення нерівностей, що містять радикали.

Приклад. Довести, що .

• Піднісши нерівність до шостого степеня, дістанемо очевидну нерівність

.

Можна перетворювати радикали до одного й того самого показника степеня:

.

Оскільки , то .

Приклад. Оцінимо .

• Оскільки , то . Отже, .

При перетворенні нерівностей можна використовувати символ V, розуміючи під ним знаки «», «», чи «».

Приклад. Яке число більше чи .

• ,

.

Оскільки , то .

Розглянемо деякі класичні нерівності, які широко застосовуються в математиці.

Наведемо нерівність Коші

(2)

і загальнішу нерівність

. (3)

Нерівність Коші-Буняковського:

. (4)

При дістаємо нерівність

.

Якщо , то маємо оцінку

.

Приклад. При маємо оцінку

.

Наближене значення обчислюють за формулою

. (5)

Приклад. Знайти значення за формулою (5).

• Нехай . Знаходимо послідовно при :

,

.

Отже .

Для відшукання можна скористатися методом Ньютона розв’язування рівняння . Дістаємо обчислювальну схему:

. (6)

Приклад. Знайдемо .

• За формулою (6) маємо

.

Виконуємо рівняння:

,

,

,

Отже, .

Аналогічно можна знайти корені будь-якого степеня. Зауважимо, що, як правило, корені не можна точно виразити десятковим дробом. Зазвичай корені є ірраціональними числами, тобто їх не можна подати дробом , де — цілі числа.

1. Що називається степенем числа з натуральним показником?

2. Властивості степенів?

3. Що називається коренем -го степеня з числа ?

4. Що називається арифметичним коренем?

5. Властивості радикалів?

Спростити числовий вираз (1—5). Відповідь

1. . –3

2. .

3. (0).

4. .

5. .

.

Перевірити правильність рівностей (6—15).

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

Спростити вирази і обчислити їх (16—27). Відповідь

16. .

17. .

18. .

19..

20.. 3

21. 

.

22. .

23. .

24. .

^25. .

26. . 3

27. .

Звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу (28—30).