elem_mat / L_06-1
.docЛЕКЦІЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ВИРАЗИ ТА ЇХ ПЕРЕТВОРЕННЯ
6.1. Відношення сторін в трикутнику
Розглянемо спочатку прямокутний трикутник АВС.
Позначимо сторони прямокутного трикутника через а, b, с, де с — гіпотенуза (рис. 1), — прямий.
Рис. 1
В такому трикутнику вводять наступні співвідношення
,
. (1)
Нехай АВС — довільний трикутник зі сторонами а, b, с і кутами (рис. 2).
Рис. 2
Через позначимо радіус описаного кола.
Справджується формула
, (2)
яку називають теоремою синусів.
Доведення формул (2) випливає з того, що всі вписані в коло кути, які спираються на одну хорду, рівні між собою (рис. 3).
Рис. 3
Проведемо діаметр . Кут . Кут — прямий, а тому . Аналогічно доводяться рівності , , з яких випливає формула (2).
При розв’язуванні трикутників часто використовують теорему косинусів, яка приводить до формул:
,
,
. (3)
Доведемо першу формулу (рис. 4).
Рис. 4
З трикутника знаходимо:
, , , .
Скориставшись теоремою Піфагора, дістаємо першу з формул (3):
.
Прямий кут поділяється на 90 рівних між собою частин, — градусів. Кут 30 становить одну третину а, кут 45 — половину прямого кута. Наведемо таблицю значень функцій , .
|
0 |
30 |
45 |
60 |
90 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
6.2. Означення і графіки тригонометричних функцій
Дано прямокутну систему координат . Нехай — одиничний вектор, що утворює довільний кут з віссю (рис. 1). Точка А міститься на колі одиничного радіуса з центром у початку координат О.
Рис. 1
Кут вимірюється довжиною дуги , яка називається радіанною мірою кута . Оскільки радіус окружності дорівнює одиниці, то довжина всього кола . Прямий кут вимірюється довжиною однієї четвертої частини кола, що дорівнює . Наведемо таблицю відповідності кутів у радіанній і градусній мірі.
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
30 |
45 |
60 |
90 |
180 |
270 |
360 |
Функція — парна, — непарна, тобто , .
Осі координат розбивають координатну площину на чотири частини, які називаються чвертями. Говорять, що кут належить першій чверті, якщо ; кут належить другій чверті, якщо ; кут належать третій чверті, якщо ; кут належить четвертій чверті, якщо (рис. 2).
Рис. 2
Якщо кут виходить за межі відрізка , то знаходимо ціле число таке, що . Кут належить тій четверті, якій належить кут .
Знаки тригонометричних функцій у різних четвертях ілюструє рис. 3.
Рис. 3
Визначимо основні тригонометричні функції:
, .
Функцією x = cos t називається проекція на вісь одиничного вектора , що утворює кут з віссю .
Функцією y = sin t називається проекція на вісь одиничного вектора , що утворює кут з віссю .
З теореми Піфагора випливає рівність
або
. (1)
Ця рівність дає змогу найти значення функції , коли відоме значення функції :
.
Аналогічно можна знайти значення функції , коли відоме значення функції :
.
Вибір знака залежить від того, в якій чверті лежить кут .
Наведемо деякі властивості функцій , .
1. Область визначення — усі значення .
2. Область значень — відрізок , оскільки .
3. Функції , періодичні з періодом , оскільки
, .
Приклад. Дано: , . Знайти .
-
Оскільки в другій четверті , то
.
Приклад. Дано: , . Знайти .
-
Оскільки в третій четверті , то
.
Побудуємо графіки функцій , (рис. 4).
Рис. 4
З графіків бачимо, що виконуються такі властивості:
, , (2)
, , (3)
, . (4)
З формул (2)—(4) випливають такі формули:
(5)
Функції tg t, ctg t визначаються за формулами:
, . (6)
1. Область визначення функції : , , функції : , .
2. Область значень: , .
3. Функції , мають період .
4. Функції , непарні відносно .
З формул (2) — (5) випливають такі рівності
,
, (7)
.
Функції , можна визначити графічно. Проводимо дотичну до одиничного кола у точці (1, 0), яка називається лінією тангенсів. Нехай вектор утворює кут з віссю (рис. 5). Продовжимо вектор до перетину з лінією тангенсів у точці С. Для ординати точки перетину С маємо: .
Рис. 5
Аналогічно проводимо дотичну до одиничного кола в точці (0, 1). Ця дотична називається лінією котангенсів. Продовжимо вектор до перетину з лінією котангенсів в точці (рис. 6).
Рис. 6
Для абсциси точки перетину маємо: .
Побудуємо графіки функцій .
Функція зростає на кожному проміжку , (рис. 7).
Рис. 7
Функція спадає на кожному проміжку , (рис. 8).
Для функцій , у точках розриву виконуються граничні співвідношення:
; ;
; ;
; ;
; 0.
Рис. 8
Функція має точки розриву , . Функція має точки розриву , .
6.3. Основні тригонометричні тотожності
З формул (1)—(6) підрозд. 6.2 випливають такі рівності
;
; ; ;
, .
Ці рівності дають змогу знаходити значення тригонометричних функцій , коли відомі значення однієї з них.
Нехай, наприклад, кут міститься в першій четверті, . З рівності знаходимо: ; ; ; ; .
6.4. Формули додавання кутів
Нехай точки А, В містяться на одиничному колі і вектори , утворюють кути , з віссю (див. рисунок).
Знаходимо відстань :
З теореми косинусів для трикутника ОАВ знаходимо
Порівнюючи результати, дістаємо формулу:
. (1)
Замінивши знак кута у формулі (1) на протилежний, дістанемо:
. (2)
Замінимо у формулі (1) кут на кут :
.
Здобута рівність за допомогою формул (5) підрозд. 6.2 набирає вигляду:
. (3)
Замінивши у формулі (3) кут на , дістанемо:
. (4)
При маємо формули подвійного кута
(5)
Додаючи до останньої формули (5) та віднімаючи від неї тотожність , дістаємо формули:
(6)
які можна записати у вигляді:
. (7)
Знайдемо, наприклад, вирази для , :
Аналогічно дістаємо:
Замінивши на у формулах (7), дістанемо:
(8)
Для функції маємо:
.
Поділивши чисельник і знаменник на добуток , дістанемо формулу додавання кутів:
. (9)
Замінивши на , отримаємо формулу
. (10)
6.5. Формули зведення
Часто доводиться перетворити вирази
на тригонометричні функції від , використовуючи формули зведення.
Наприклад, оскільки , , маємо:
(1)
Аналогічно виводяться формули:
. (2)
Наведемо формули, які потрібно запам’ятати:
(3)
Найчастіше застосовувані формули зведення вміщено в таблиці.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|