Добавил:

Sergo Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Государственный университет управления

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Учебник 1 курс 2 семестр.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.12.2013

Размер:

1.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 77

Ответы и указания к упражнениям

§1

1.а) да; б) да; в) нет; г) да.

2.а) ± 2 ; б) 2; 3; в) 1.

4.	а) y = exy′/ y ; б) xy′ = 3y ; в) (1 + x tg x) y′′− xy′+ y = 0 .
5.	а)	y = xex ; б) y = cos x .
7.	а)	q вогнута при E = −0,7 ; q выпукла при E = −1,2 ;
	б)	q(t) выпукла при t < 5 , вогнута при t > 5 .
8.	а) β > 6 ; б) при q0 =1 и q0 = 4 выпуск сохраняется неизменным, при 1 < q0 < 4 выпуск растет,
	при остальных значениях q0 выпуск убывает.
	§ 2

1.а)

2.а)

3.а)

4.а)

y(1) ≈ 0,45 при h = 0,1 ; y(1) ≈ 0,495 при h = 0,01;

точное значение y(1) = 0,5 ; б) y(2) ≈ 4,78 при h = 0,1 ; точное значение y(2) = 3(e −1) ≈ 5,15 .

y =	1	; y = 0 ; б) y =	(x +C)2	; y = Cex .
	(x +C)2		4

ln x = C + y2 +1, x = 0 ; б) y2 −2 = Ce x

; в) y =1 + Cx .

x +1

y =

; б) y = 2 −4 cos x ; в) y = (x − 2)3 , y = 0 ;

− x2

г) y =

, y = 0 ; д)

1 − x2 + 1 − y2 =1, y =1.

+ x

y = ce−2 x + 2x2 + 2x −1

а)

y = x(c +sin x) ; б)

; в)

y =

c −ln

; г) y = sin x + c cos x ; д)

y = (x2 + c)e−x 2 ;

е) x = 2 ln y − y +1 + cy2 .

а)

y = x ln

; б) y =

−

; в) y = xeCx .

7.а) y = Cx2 + x4 ; б) y = x3 x+ C e−x ; в) x = Cesin y −2 sin y −2 .

8.а) 12,55%; б) 1,88%.

9.p(t) = 3 + ( p0 −3)e−30γt ; при t → +∞ цена стремится к равновесной цене p = 3 , убывая,

если начальная цена больше равновесной, и возрастая, если начальная цена меньше равновесной; если начальная цена является равновесной, она остается неизменной.

10.				l		+Ce−(α+β)t / 2		2
	k(t) =							.

				α+β

11.	а)	q =		2	−5 ; б) q = −2 tg 0,4(t −C) ;
			C −t
						3
		в)						; q =1 ; q = 4 .
				q = 4 +
							e0,6(t −C) −1

§ 3

3. а) xe−y − y2 = C; б) x − y2 cos2 x = C; в) x3 + x3 ln y − y2 = C;

г) 4 y ln x + y4 = C.
4. а) µ =		1			; 2x +ln(x2 + y2 )= C;
4. а) µ =	x2 + y2				; 2x +ln(x2 + y2 )= C;		; (x2	−C)y = 2x;
	x2 + y2
б) µ =		1	; y	2 = x2 (C −2 y); в) µ =		x
б) µ =		x3	; y	2 = x2 (C −2 y); в) µ =		y
		x3				y
г) µ =		1	; sin2 y = Cx − x2 и x = 0.
г) µ =		x2	; sin2 y = Cx − x2 и x = 0.
		x2

§4

1.а) C1 + C2 x2 + x3 ; б) y = C1(2x −1) +C2e−x + x22+1 .

2. а)	y = 4ex + 2e3x ; б)	y = (7 −3x)ex −2 ; в) y = ex sin x ;
г)	y = ex (cos 2x +	2 sin 2x) .

3.а) y = (C1 +C2 x)e2 x + 81 (2x2 + 4x +3) ;

б)

y = C + C

e−8x +

−

;

в)

y = C e−x

+ C

e3x +

e4 x

; г) y = (C + C

x)e−2 x + 4x2e−2 x ;

д)

y = C1 cos x +C2 sin x −2x cos x ;

е)

y = e−x (C cos 2x +C

sin 2x) −0,5xe−x cos 2x .

4. а)

y = (4x + 2)e2 x +0,5x2e2 x ; б) y = e−x (sin x −4 cos x) .

5.а) p = 2 +C1 cos1,2t + C2 sin1,2t , q = 50 +12C1 sin1,2t −12C2 cos1,2t ; T = 2π/1,2 ≈ 5,23 ; p(0) = 2 , q(0) = 50 ;

б) p = 2 − 0,5 2 cos(1,2t + π/ 4) , q = 50 −6 2 sin(1,2t + π/ 4) ; p1 =1,56 , q1 = 43,3 ; экстремумы:

t2 = π/ 4.8 ≈ 0,6 , p2 =1,95 , q2 = 41,5 ; t3 = 3π/ 4,8 ≈ 2,0 , p3 = 2,71 , q3 = 50,4 ; t4 = 5π/ 4,8 ≈ 3,3 , p4 =1,98 , q4 = 58,5 ; t5 = 7π/ 4,8 ≈ 4,6 , p5 =1,29 , q5 = 49,8 .

§ 5

4. а) y = C и y +C1 ln y = x +C2 ; б) y = C,

y−ln C1 + e y = C1x +C2 .

5.а) y = C1x3 +C2 x +C3;

б) y = C1 sin x +C2 cos x + 16 x3 +C3x +C4 .

6.а) y = C1 exp(C2 x2 ); б) y2 = C1x3 +C2 ; в)

7.а) C1 y −1 = C2eC1 x ; б) y2 = x2 +C1x +C2 .

y = −ln(C2 − x) и

y= C1x exp − C2 .

§ 6

	y		= C ex + C		e−x −1,
3.	а)		1	2
3.	а)	z	= C ex −C		e−x −1;
		z	= C ex −C		e−x −1;
			1	2
y = e2 x (C cos x				+ C		2	sin x),
			1			2
б)		2 x
		2 x	((C1 + C2 ) cos x + (C2 −C1 ) sin
z = e			((C1 + C2 ) cos x + (C2 −C1 ) sin

x).

y = ex (C

cos(3x) +C

sin(3x)),

y = (C

x)e3x ,

4. а)

б)

(C1 sin(3x) −C2 cos(3x));

+C2 +C2 x)e

;

z = e

z = (C1

x = C et

+ C

e−t

x = et (2C

sin 2t

+ 2C

cos 2t),

в)

e2t

г)

sin 2t),

y = C et

+ C

y = et (C

−C

cos 2t +C

z =

2C e

−C e−t ;

z = et (−C

−3C

cos 2t +3C sin 2t);

x = C e2t

e−5t ,

д)

y = C2e2t +3C3e−5t ,

z =

(C −

2C )e2t + 2C e−5t .

x = C

t + 4C

e3t

6*.

y = C

−2C −2C

t + 4C

e3t ,

z = C −C +C t +C e3t .

y = C ex

+ 2C

e4 x

+3e5x ,

а)

4 x

+C2e

+ e

;

z = −C1e

y = C e2 x +C

e−x

−2 sin x −cos x,

б)

2 x

−x

2C1e

−C2e

+sin x +3cos x;

z =

y = C ex

e3x + xex −e4 x ,

в)

4 x

+C2e

−(1 + x)e

−2e

z = −C1e

§7

3.z(x, y) = 0.5x( y 1 + y2 + arctg y) + ϕ(x).

4.z(x, y) = ϕ( y) e2 x −0.5xy −0.25y.

5.а) z(x, y) = −0.5cos(x + y) +ϕ(x − y);

б) z(x, y) = 0.5(x + y) sin(x − y) +ϕ(x − y).

Указание: используйте замену переменных u = x + y, v = x − y .

6.z(x, y) = xy(x + y) +ϕ(xy).

7*. z(x, y) = (ϕ1(x) + yϕ2 (x) )e y + x.

§ 8

а)

z = ϕ(x3 + y3 ); б)

z = x +ϕ(e−x −0.5y−2 );

в)

F (x2 + y4 , arctg z −ln

)= 0

или в явном виде z = tg(−ln

+ϕ(x2

+ y4 )); г) u = ϕ

y −

2 ln

− z

, x

= 0.

− z

6*.

− y)u, ( y − z)u,

= 0.

x + y + z

Учебное издание

Владимир Борисович Гисин Сергей Алексеевич Зададаев

Дифференциальные уравнения

Руководство к решению задач

Художественный редак-	В.А. Селин
тор
Компьютерная верстка	Л.Б. Галкиной
Корректор	Т.А. Наумова

Лицензия ИД №01322 от 24.03.2000.

Подписано в печать 16.09.2002. Формат 60х84/16. Гарнитура Times.

Усл. п.л. 4,42. Усл.-кр. отт. 4,66. Уч.-изд. л. 2,47.

Тираж 2000 экз.

Финансовая академия при Правительстве Российской Федерации

125468, Москва, Ленинградский проспект, 49

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии Финансовой академии при Правительстве РФ

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 77

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
16.12.201348.13 Кб27vyshka_var_2008.doc
#
16.12.201365.54 Кб73Билет по высшей математике.doc
#
16.12.2013498.16 Кб26Билет по вышке 2 семестр 2005-2006.jpg
#
16.12.2013385.09 Кб53Билеты по высшей математике ГУУ.jpg
#
16.12.201327.14 Кб144Высшая математика. Экзаменационный билет за 2-й се.doc
#
16.12.20131.39 Mб91Учебник 1 курс 2 семестр.pdf