Финансовая академия при Правительстве Российской Федерации

Гисин В.Б., Зададаев С.А.

Дифференциальные уравнения.

Руководство к решению задач

Москва 2002

УДК 33:51(075.8) ББК 22.18

Г51

Рецензенты:

к.ф.-м.н. А.В. Овчинников (МГУ)

проф., д.т.н. В.А. Бывшев (ФА)

Гисин В.Б., Зададаев С.А. Дифференциальные уравнения. Руководство к решению задач. М.: Финансовая академия, 2002. 76 с.

Данное пособие представляет собой значительно переработанное издание 1998 г. В него внесены изменения и дополнения в соответствии с новым государственным образовательным стандартом по математике для экономических специальностей. В частности, теория обыкновенных дифференциальных уравнений расширена параграфами "Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель", "Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами"; введен новый параграф "Дифференциальные уравнения в частных производных. Основные понятия", в который включены общие вопросы интегрирования и теория линейных уравнений с частными производными первого порядка. Пособие дополнено новыми примерами и упражнениями, расширен круг рассматриваемых примеров, добавлены теоретические вопросы.

Руководство предназначено для самостоятельной работы студентов, изучающих курс дифференциальных уравнений, может быть рекомендовано преподавателям для проведения соответствующих семинарских занятий.

© Финансовая академия при Правительстве РФ, 2002

§ 1. Дифференциальные уравнения. Общие понятия

Дифференциальное уравнение n-го порядка записывается в виде

F(x, y, y′,K, y(n) ) = 0 ,

где F – некоторая заданная функция, x – независимая переменная, y = y(x) – искомая функция, а y′, …, y(n) – ее производные. Число решений уравнения n -го порядка бесконечно. Общее решение зависит от n произвольных постоянных C1 , …, Cn . Частные решения получаются путем придания

конкретных значений этим постоянным.

График решения дифференциального уравнения 1-го порядка называется интегральной кривой. Если решение дифференциального уравнения представлено как неявная функция

Ф(x, y) = 0 ,

его называют интегралом уравнения.

Задача нахождения решения дифференциального уравнения

называется задачей Коши. Если в некоторой окрестности точки (x0 , y0 , y0′,..., y0(n−1) ) функция f не-

прерывна и имеет непрерывные частные производные по всем аргументам, начиная со второго, то задача Коши имеет единственное решение. Если известно общее решение уравнения, начальные условия приводят к системе уравнений для определения постоянных C1 , …, Cn .

П ри ме р ы

Ре ш е н и е . Имеем:

y′ = ex cos x − ex sin x , y′′ = −2ex sin x .

Отсюда

y′′+ y′− y = −2ex cos x + ex cos x − ex sin x − ex cos x ≡ −3ex sin x .

2. Найти кривую семейства y = C1e−x +C2 sin x , для которой y(0) =1 , y′(0) = 2 .

Ре ш е н и е . Имеем:

y′ = −C1e−x +C2 cos x ,

так что

y(0) = C1 , y′(0) = −C1 +C2 .

Значит, C1 =1 и −C1 +C2 = 2 , откуда C2 = 3 .

3. Найти дифференциальное уравнение семейства квадратичных парабол, проходящих через точку (0; 1) .

Ре ш е н и е . В общем виде уравнение параболы, проходящей через точку (0,1) , имеет вид

y = ax2 + bx +1.

Дифференцируя, получаем

y′ = 2ax + b , y′′ = 2a .

Выражаем параметры a и b через производные функции y : a = y′′/ 2 , b = y′− xy′′.

Подстановка найденных выражений в общее уравнение параболы дает искомое дифференциальное уравнение:

y = x2 y′′/ 2 + x( y′− xy′′) +1,

или, после упрощений:

x2 y′′− 2xy′+ 2 y − 2 = 0 .

4. Показать, что всякое решение уравнения y′ = x − y имеет вид y = x −1 +Ce−x .

Ре ш е н и е . При любом начальном условии y(x0 ) = y0 данное уравнение имеет единственное решение. Его можно записать в указанном виде, полагая C = ( y0 − x0 +1)ex0 .

Вопросы и упражнения для самостоятельной работы

1.Выяснить, является ли указанная функция решением соответствующего дифференциального уравнения:

г) yy′′′= 2 , y = x2 ln x +C1x2 +C2 x +C3 .

2.Найти значение a , при котором указанная функция является решением соответствующего дифференциального уравнения:

3.Показать, что следующие заданные неявно функции являются интегралами соответствующих дифференциальных уравнений:

4.Составить дифференциальные уравнения следующих семейств кривых:

5.В заданных семействах кривых найти линии, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

6.Показать, что произвольная интегральная кривая уравнения y′ = x 1 +( y′)2 – это окружность единичного радиуса с центром на оси ординат.

7.Предположим, что приращение выпуска продукции за малый промежуток времени ∆t пропор-

ционально цене на продукцию p = p(t) , текущему объему q = q(t) и ∆t , т.е. ∆q = α pq ∆t . Иными словами, q′ = αpq . Будем считать, что p = p(q) и по мере насыщения рынка цена снижается, dpdq < 0 .

а) Пусть E – эластичность спроса по цене. Определить, в каком из двух случаев: при E = −0,7 или при E = −1,2 – рост выпуска прогрессирует (функция q = q(t) выпукла), а в каком замедляется (функция q = q(t) вогнута).

б) Исследовать на выпуклость функцию q = q(t) , если зависимость цены от выпуска имеет вид

p=10 −q .

8.Предположим, что приращение выпуска за малый промежуток времени ∆t пропорционально прибыли, т.е. ∆q = α( pq −c) ∆t , где p – цена продукции, а c – затраты. Пусть выпуск и цена

связаны зависимостью p =10 −q , а функция затрат имеет вид c =βq +4 , где β <10 – постоянный коэффициент.

а) Определить, при каких значениях β выпуск будет убывать независимо от начального значе-

ния q0 = q(0) .

б) При β = 5 исследовать в зависимости от значения выпуска q0 = q(0) в начальный момент: когда выпуск будет расти, а когда убывать и сохраняться неизменным.

§ 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Если уравнение 1-го порядка записано в виде

y′ = f (x, y) ,

то говорят, что оно записано в нормальной форме. В этом случае угловой коэффициент касательной к интегральной кривой, проходящей через точку (x0 , y0 ) , равен f (x0 , y0 ) (касание в точке (x0 , y0 ) ). Тем самым для каждой точки из области определения функции f (x, y) оказывается заданным на-

правление, а на всей области определения – поле направлений. Точки, через которые не проходит ни одна интегральная кривая или проходит более одной интегральной кривой, называются особыми точками дифференциального уравнения. Кривая, состоящая из одних особых точек, называется осо-

бым решением.

Для приближенного построения интегральной кривой, проходящей через заданную точку M0 (x0 , y0 ) в заданном поле направлений, можно использовать метод Эйлера. Кривую заменяют ло-

маной с вершинами Mi (xi , yi ) – такой, что x1 = x0 + h , x2 = x1 + h , …, и каждое звено Mi Mi +1 касается интегральной кривой в точке Mi , т.е. yi+1 = yi + hf (xi , yi ) .

П ри ме р ы

1. Пусть y′ = y и y(0) =1 . Методом Эйлера найти y(1) . Ре ш е н и е . Возьмем h = 0,1 . Имеем

yi+1 = yi +0,1 yi =1,1yi .

ляется решением поставленной задачи Коши, так что точное значение y(1) равно e ≈ 2,72 . Дифференциальное уравнение, которое можно записать в виде

y' = p(x) g( y) ,

где p(x) и g( y) – непрерывные функции, называется уравнением с разделяющимися переменными.

Такое уравнение можно переписать в виде

gdy( y) = p(x)dx

в предположении, что g( y) ≠ 0 . Интегрируя, получаем

∫ gdy( y) = ∫ p(x)dx .

Общий интеграл исходного уравнения может быть записан в виде

G( y) = P(x) +C ,

где G( y) и P(x) – первообразные соответственно для 1g( y) и p(x) .

Ре ш е н и е .

а) Перепишем уравнение в виде:

(2 − x)d x = yd y .

Интегрируя обе части, получаем

∫(2 − x)d x = ∫ yd y ,

y = (x +C)2 . Решение y = 0 является особым, так как через каждую точку вида (x0 ,0) проходят две

интегральные кривые: y = (x − x0 )2 и y = 0 . в) Запишем уравнение в виде

ylnxd x = xd y .

Делим обе части уравнения на x y ≠ 0 и интегрируем:

∫lnxd (lnx) = ∫ dyy .

Отсюда 12 ln2 x = ln y +C1 . Полагая C1 = −lnC , последовательно получаем:

Функция y = 0 также является решением исходного уравнения. С учетом этого общее решение может быть записано в виде

y = Cxln x ,

где C – произвольная константа.

3.Найти решение задачи Коши и соответствующую интегральную кривую:

y′ = 31 −+ xy , y(4) =1 .

Ре ш е н и е . Разделяя переменные и интегрируя, получаем

∫(x −1)d x = −∫( y + 3)d y .

Отсюда

(x −21)2 = − ( y +23)2 +C .

Полагая R2 = 2C , записываем общее решение в виде

(x −1)2 + ( y + 3)2 = R2 .

Последнее уравнение задает семейство концентрических окружностей с центром (1, −3) . При

x = 4 , y =1 имеем (4 −1)2 + (1 + 3)2 = R2 , т.е. R2 = 25 . Так что через точку (4, 1) проходит окруж-

ность

(x −1)2 + ( y + 3)2 = 25 .

Уравнение вида

y′+ p(x) y = q(x) ,

где p(x) и q(x) – непрерывные функции, называется линейным. Для интегрирования линейных уравне-

ний первого порядка используют метод вариации постоянной и метод Бернулли.

4.(метод вариации постоянной). Решить уравнение:

y= (1 + x) y′− 1 +1 x .

Ре ш е н и е . Разделив обе части уравнения на 1 + x ≠ 0 , запишем его в виде

На первом этапе решаем соответствующее однородное уравнение, в котором переменные разде-

(Взаимное уничтожение слагаемых, содержащих C(x) , может служить контролем правильности решения.) Отсюда

Теперь записываем общее решение исходного уравнения

y= C(x)(x +1) = − 2(11+ x) +С(x +1) .

5.(метод Бернулли). Решить уравнение

Выберем v так, чтобы выполнялось равенство

Подставляя v , получаем уравнение с разделяющимися переменными:

Теперь получаем общее решение исходного уравнения:

y = uv = x2 +1 + C (x2 +1) .

Уравнение вида

y′+ p(x) y = f (x) yn , n ≠1,

называемое уравнением Бернулли, сводится к линейному заменой z = y1−n . Решение уравнения Бернулли можно также найти, применяя подстановку y = uv .

6.Решить уравнение x2 y2 y′+ xy3 =1 .

Ре ш е н и е . Деля на x2 y2 убеждаемся, что данное уравнение – уравнение Бернулли: