Приклади розв’язання задач

Приклад 1. Знайти індукцію магнітного поля у точці, яка розташована на відстані R=5см від тонкого нескінченного провідника, через який тече струм I=2A.

Розв’язання

Скористаємось законом Біо-Савара-Лапласа, щоб отримати формулу для розрахунку магнітної індукції в точці М. Виділимо на провіднику елемент dl, який розташований на відстані l від точки О і на відстані r від точки М. Це елемент утворює в точці М індукцією , яка згідно з (4.2) напрямлена перпендикулярно до площини рисунка за рисунок і

Рис. 4.2. згідно з (4.3) має величину

dB=dl (1)

Повна індукція

(2)

Поділимо провідник на дві рівні частини (при цьому інтеграл треба подвоїти) і виразимо змінні l і r через кут α. З рисунка випливає

.

Підставимо dl і r в (2):

(3)

Перевіримо одиницю вимірювання

Виразимо величини в одиницях Сі і підставимо в (3):

=0,25мкТл

Відповідь: В=0,25мкТл.

Приклад 2. Два прямолінійних нескінченних провідника розташовані паралельно на відстані

l =10см один від одного. По провідникам протікають однакові струми у протилежних напрямках. Знайти індукцію магнітного поля у точці, яка віддалена від кожного провідника на відстань.

Розв’язання.

Нехай провідники розташовані перпендикулярно до площини рисунку. Точка М і провідники утворюють рівносторонній трикутник зі стороною 10 см. Тому . Згідно з формулою (3) з приклада

1 індукції В₁ і В₂, які утворюють струми

І₁ і І₂, можна визначити за формулою

Рис. 4.3. .

За принципом суперпозиції _.

Напрямки ,іпоказані на рис. 4.3. З рисунку випливає, то кут β теж дорівнює 60⁰. Це означає, що вектори ,ітеж утворюють рівносторонній трикутник, тому

B = B₁ =B₂.

Підставимо числові данні, вважаючи, що μ =1.

Відповідь: В = 12,6 мкТл.

Приклад 3. Знайти індукцію магнітного поля усередині соленоїда довжиною l= 25см, який має N=500 витків. Сила струму, який протікає через соленоїд, . Діаметр соленоїда вважати набагато меншим за його довжину. Осередь – повітря.

Розв’язання.

За допомогою теореми про циркуляцію напруженості магнітного поля знайдемо формулу для розрахунку напруженості. Магнітне поле існує тільки у серед соленоїда. Виберемо замкнутий контур так, щоб його частина проходила через внутрішній простір соленоїда. Цей контур охоплює Ν витків. Тоді за формулою (4.4)

Рис. 4.4. ,

звідки , і згідно з (4.1).

Перевіримо одиницю вимірювання

.

Підставимо числові дані

.

Відповідь: .

Приклад 4. Два провідника розташовані паралельно у повітрі на відстані =50см один від одного. Через провідники у однаковому напрямку проходять струми . Визначити силу взаємодії, яка припадає на одиницю довжини кожного провідника. Притягуватися чи відштовхуватися будуть провідники?

Розв’язання.

Будемо вважати, що провідник зі струмом знаходиться у магнітному полі, яке створює струм. Індукція цього поля (приклад 1):

.

Тоді на елемент dl струму діє сила (4.6)

,

Рис. 4.5. або .

У нашому випадку α = 90⁰, μ = 1, тому на одиницю довжини припадає сила

Перевіримо одиницю вимірювання.

.

Підставимо числові значення

.

Н

F

апрямок сили визначається законом (4.5). З рис. 4.6 випливає, що у даному випадку, провідники притягуються.

Відповідь: F = 1,26 Н/м ; притягуються.

Рис. 4.6.

Приклад 5. Протон, який пройшов прискорюючи різницю потенціалів U = 500 B, влетів у однорідне магнітне поле перпендикулярно лініям магнітної індукції. Визначити радіус траєкторії протона. Індукція магнітного поля В=0,5 Тл.

Розв’язання.

На протон діє сила Лоренца (4.10). Оскільки кут між швидкістю і індукцієюдорівнює 90⁰ , то сила Лоренца є доцентровою і змушує протон рухатись по колу. Згідно з другим законом Ньютона

,

або ,

звідки , (1)

де кг – маса протона, q=1,6∙Кл – заряд протона.

Швидкість v знайдемо, скориставшись зв`язком між роботою електричного поля по переміщенню протона зі зміною його кінетичної енергії .

Вважаючи початкову швидкість протона рівною нулю, маємо

, звідки (2)

Підставимо (2) у (1) і отримаємо

. (3)

Перевіримо одиницю вимірювання

Підставимо в (3) числові дані

Відповідь: .

Приклад 6. Повна енергія гармонічних коливань матеріальної точки ; максимальна сила, яка діє на точкуF_max=2мН. Записати рівняння цих коливань, якщо період Початкову фазу вважати φ₀= 0.

Розв’язання.

Рівняння гармонічного коливання має вигляд (4.23)

(1)

Треба знайти циклічну частоту і амплітуду А.

Згідно з (4.27) (2)

Відомо, що величина максимальної сили

де a_max – максимальне прискорення точки. З формули (4.26) випливає, що величина максимального прискорення точки , тоді

(3)

Повна енергія точки (4.32)

. (4)

Розв`язуючи сумісно (3) і (4), знайдемо А.

.

Переконаємось, що А має одиницю вимірювання м

.

Знаходимо числове значення амплітуди.

Запишемо рівняння (1) з урахуванням того, що φ₀ = 0;

.

Відповідь: .

Приклад 7. Записати рівняння результуючого коливання, яке отримано складанням двох однаково напрямлених коливань

і .

Розв’язання.

В результаті додавання цих коливань утворюється гармонічне коливання тієї ж частота з амплітудою (4.33).

.

Оскільки j₂-j₂=p/2 і cosp/2=0,

м

Початкова фаза результуючого коливання визначається з рівняння (4.34)

;

отже

Відповідь:

Приклад 8. Знайти логарифмічний декремент згасання δ для математичного маятника довжиною l=1м, якщо за час Dt = 1хв амплітуда його коливань зменшується у два рази.

Розв’язання.

За визначенням . Тому треба знайти коефіцієнт згасанняb і період коливань Т. Запишемо амплітуду згасаючих коливань згідно з (4.35) для двох моментів часу t₁ і t₂:

і

поділимо А₁ на А₂: .

За умовами задачі А₁/А₂=2 і t₂-t₁=Dt, тому _.

Логарифмуємо цей вираз: .

Звідки

Період коливань знайдемо за формулою (4.29)

.

Таким чином

Відповідь: δ = 2,32×10^-2.

Приклад 9. До електричної мережі напругою U=220В і частотою u=50 Гц підключено котушку опором R=100 Ом, яка споживає потужність Р=200 Вт. Знайти струм І, який протікає через котушку, а також її індуктивність L, якщо зсув фаз між напругою і струмом j=60°.

Розв’язання.

В умовах задачі йдеться про ефективні значення струму і напруги. Оскільки потужність змінного струму (4.46)

P = I_еф U_eф cos .

Повний опір ділянки кола (4.44) з урахуванням того, що С=0.

(1)

З іншого боку (4.43) повний опір

(2)

Порівняємо (1) і (2): =

Розв’яжемо це рівняння відносно L:

.

Оскільки w=2pν, _.

Перевіримо одиницю вимірювання:

Підставимо числові значення:

Відповідь: І=1,82 А, L=22 мГн.

Приклад 10. Рівняння незгасаючих коливань має вигляд у=5cos100pt і поширюється зі швидкістю V=300 м/с.

Знайти зміщення у від положення рівноваги точки, яка віддалена від джерела коливань на відстань х=3м у момент часу t=0,02 с після початку коливань, а також довжину хвилі l.

Розв’язання.

Згідно з (4.37)

,

тому зміщення

Довжина хвилі згідно з (4.38) l=vT.

Оскільки w = 100p, то Т = 2p/w = 0,02 с. Тоді l = 300 × 0,02 = 6 м. Відповідь: у = -5см, l = 6 м.