1. Складання контурних рівнянь

Розглянутий на минулій лекції розрахунок електричних кіл за методом рівнянь Кірхгофа простий за додаванням самої системи рівнянь, але громіздкий за обчислювальною роботою.

За незалежну змінну можна прийняти струми віток зв’язку (хорд), чи так звані контурні струми. Рівняння з контурними струмами ми отримуємо на основі другого закону Кірхгофа, їхня кількість дорівнює кількості незалежних контурів. Отже, метод контурних струмів зменшує кількість рівнянь та є більш економічним за обчислювальною роботою .

Систему рівнянь методом контурних струмів можна записати в загальному вигляді для будь-якої схеми, яка має п незалежних контурів :

Я11І11 + Я12І22 + Я13І33 + & + Я1пІпп = Е11;

Я21І11 + Я22І22 + Я23І33 + & + Я2пІпп = Е22;

Яп 1І11 + Яп2І22 + Яп3І33 + & + ЯппІпп = Епп,

де Я11, Я22, Я33, ... Япп - називають власними опорами контурів і знаходять їх, як суму всіх опорів, які входять в даний контур; Я12, Я13, Я23 тощо - називають спільними опорами та знаходять як суму всіх опорів у загальних (спільних) вітках, що належать двом контурам; Е11, Е22, ... Епп - контурні ЕРС, які відшукують як алгебраїчну суму ЕРС, що входять в даний контур. Якщо ЕРС збігається з напрямком контурного струму, то її будемо брати зі знаком “+”, а якщо ні - зі знаком “-”.

Якщо контурні струми в загальній вітці діють в одному напрямку, тоді спільний опір матиме знак “+”, якщо контурні струми в загальній вітці діють назустріч один одному, тоді спільний опір матиме знак “-” .

Розв’язавши систему рівнянь відносно контурних струмів, можна знайти струми у всіх вітках електричного кола:

• якщо вітка належить тільки до одного контуру, то струм в ній буде такий, як

контурний (зі знаком “+”, якщо струм у вітці та контурний спрямовані однаково);

• якщо вітка належить декільком контурам, то струм в ній будемо знаходити як

алгебраїчну суму контурних струмів, що діють у даній вітці.

Складання рівнянь за методом контурних струмів проілюструємо на прикладі електричного кола , схема якого зображена на рис. 23,а. E4 I4 2 4 .© I R1 I1 R2

R7 R9

о 111

0 122

О ±33

)Е3 ,

I7 I9,

(Ь

1

» 1

> Ф

R3

I3

R5

R6

I5

I8

R8

144

©

t ©

6

5

®.

I2 ³

R4

I6

б

Рис. 23. Схема електричного кола

Дане електричне коло має чотири незалежних контури (див. граф рис. 23,6). Задаємося довільно-додатними напрямками контурних струмів у всіх контурах. Складаємо систему рівнянь у загальному вигляді

R11I11+R12I22+R13I33+R14I44 = E11; R31I11+R32I22+R33I33+R34I44 = E33;

R21I11+R22I22+R23I33+R24I44 = E22; R41I11+R42I22+R43I33+R44I44 = E44,

де власні опори:

R11 = R1 + R2 + R3; R33 = R7 + R8 + R9;

R22 = R3 + R4 + R5 + R7; R44 = R2 + R5 + R6 + R8;

спільні опори:

Є = ф ЄНІ. 7

С) 30

5і 54

и 56

я, + я4 62

І7 = ^!22 ^{- !}33; ^!8 = ^!33 + Lw; ^!9 = ^{- !}33.

2. Складання контурних рівнянь для кіл, які мають вітки з ідеальними джерелами струму

При запису контурних рівнянь струм кожного джерела струму можна вважати відомим контурним струмом, що замикається по будь-яких вітках, які створюють замкнений контур з віткою, до складу якої входить джерело струму.

Простежимо послідовність складання рівнянь за методом контурних струмів 6езпосередньо за схемою, що зо6ражена на рис. 24,а

.

Рис. 24. Схема електричного кола

б

а

©

Параметри елементів електричного кола мають такі значення:

J1 = 1 A; J5 = 5 A; J9 = 9A; E4 = 40 V; R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R6 = R7 = R8 = R9 = 10.

1. Схема має один незалежний контур (див. граф рис. 24,6), а отже, і один невідомий контурний струм Іц.

2. Визначаємо кількість віток з джерелами струму - 3, отже, з ними можна скласти ще 3 контури, контурні струми в яких будуть відомі і дорівнюватимуть струмам джерел (напрями контурних струмів І₂₂, І₃₃, І4₄ приймаємо такими, як напрями джерел рис. 24,а).

3. Складаємо одне рівняння:

R11I11 + R12I22 + R13I33 + R14I44 = E11,

де власний опір:

R11 = R4 + R7 + R8 + R6 + R3 + R2 = = 10 + 10 +10 + 10 + 10 + 10 = 60 #;

спільні опори:

R12 = - (R2 + R3) = - (10 + 10) = - 20 ?;# R13 = + (R3 + R6 + R8) = + (10 + 10 + 10) = 30 #; R14 = - (R7 + R8) = - (10 + 10) = - 20 #;

контурна ЕРС:

E11 = E4 = 40 V;

контурні струми:

I22 = J1 = 1 A; I33 = J5 = 5 A; I44 = J9 = 9A.

Підставляємо числові значення опорів і струмів та отримуємо

60I11 - 20”1 + 30”5 - 20”9 = 40,

отже,

I11 = ( 40 + 20 + 180 - 150 ) / 60 = 1,5 A.

4. Позначаємо додатні напрямки струмів у вітках схеми (рис. 24,а) та визначаємо їхні числові значення через контурні струми:

І3 = -111 - І33 + І22 = - 1,5 - 5 + 1 = - 5,5 А;

І4 = Іц = 1,5 А

;

І6 = + І11 + І33 = 1,5 + 5 = 6,5 А;

І7=- Ііі + І44 = - 1,5 + 9 = 7,5 А;

І8 = -111 - Ізз + І44 = - 1,5 - 5 + 9 = 2,5 А.

5. Для того, щоб перевірити вірність розв’язання, складаємо баланс потужностей. Спочатку знаходимо напругу на джерелах струму, склавши рівняння за другим законом Кірхгофа:

• Uji + R1J1 -R2I2 + R3I3 = 0;

Uji = R1J1 - R2I2 + R3I3 =101 - 10-0,5 + 10-(-5,5) = - 50 V;

- Uj5 - R8I8 + R6I6 - R3I3 + J5R5 = 0;

Цл = - R8I8 + R6I6 - R3I3 +J5R5 = -10-2,5 + 10-6,5 - 10-(- 5,5) + +10-5 = 145 V;

• Ujg + R9J9 + R8I8 + R7I7 = 0;

Uj9 = R9J9 + R8I8 + R7I7 = 10-9 + 10-2,5 + 10-7,5 = 190 V.

Тепер знаходимо потужності, що генерують джерела:

Pr = E4I4 + UJ1J1 + Ujj5 + UJ9J9 ,

Р_г = 40-1,5 + (- 50) -1 + 145 -5 + 190 -9 = 2445 W та споживають приймачі:

Р_ПР = J₁²R₁ + I₂²R₂ + I₃²R₃ + I₄²R4 + J₅²R₅ + I₆²R₆ + I₇²R₇ + I₈²R₈ + + J₉²R₉ =1-10 +

0,5²-10 + 5,5²-10 + 1,5²-10 + 5²-10 + 6,5²-10 + + 7,5²-10 + 2,5²-10 + 9²-10 = 2445 W.

Р_г = Р_ПР, отже, струми знайдено вірно.

3. Принципи накладення та взаємності

При розв’язанні рівнянь, що складені за методом контурних струмів, за допомогою визначників відносно любого із струмів, отримали

I - E ^А1 + E ^АК 2 + + E ^АК n

КК 11а 22 _А ^nn _А 5

А А А

де Д - головний визначник системи

^R11 ^R12 ••• ^R1n

^R21 ^R22 ••• ^R2n

А -

^Rn1 ^Rn2 ••• ^Rnn

а <K1, <_K2 , ... <_Kn - алгебраїчні доповнення, які отримані із Д шляхом викреслювання з останнього к-го стовпця і n-го рядка та помноживши новий визначник на (- 1)^к+^п .

Е₁₁, Е₂₂, ... E_nn - являють собою суму ЕРС всіх джерел, що входять у відповідні контури.

Отже, контурний струм в любому контурі дорівнює алгебраїчній сумі струмів, які виникають в цьому контурі від кожної з ЕРС зокрема.

Це важливе положення про незалежність дії джерел відоме під назвою принцип накладання. Принцип накладання справедливий тільки для лінійних електричних кіл.

Оскільки завжди можливо вибрати сукупність контурів так, щоб вітка, в якій ми хочемо знайти струм, належала тільки до одного контуру, то принцип накладання справедливий і для струму любої вітки.

Відзначимо, що принцип накладання не можна використовувати для розрахунку потужностей в опорах як суму потужностей від кожного джерела зокрема, тому що потужність є квадратичною функцією струму (Р = RI²).

Таким чином, розраховуючи кола за методом накладання, почергово визначають струми, які виникають від дії кожного джерела схеми зокрема. Для цього із електричного кола вилучають всі джерела енергії, крім одного, зберігаючи в колі всі опори, зокрема

й

внутрішні опори вилучених джерел, і розраховують кола. Так роблять стільки разів, скільки є в електричному колі джерел енергії. Відтак знаходять I струм у вітці як алгебраїчну суму від всіх джерел.

Метод накладання проілюструємо на схемі, що зображена на рис. 25,а

1. Вилучаємо із схеми джерела Е₆ та Із, залишивши їхні внутрішні опори (рис. 25,б), і для одержаної схеми знайдемо струм

її =-^-

¹ — + — 4

2. Вилучаємо із схеми джерела Е₁ та Е₆, залишивши їхні внутрішні опори (рис. 25,в), і для одержаної схеми знайдемо струм

ї1 = І₃—•

^{1 3}—4 + —1

3. Вилучаємо із схеми джерела Е₁, І₃, залишивши їхні внутрішні опори (рис. 25,г), і для одержаної схеми знайдемо струм

^я, + я₄

4. Знайдемо струм І₁ вихідної схеми (рис. 25,а) як алгебраїчну суму відповідних струмів І₁', І₁'', І₁'''(струми І₁'', І₁''' візьмемо зі знаком "-", тому що їхній напрямок не відповідає напрямку струму І₁, а струм І₁' - зі знаком "+")

і, = ^Е'

Я

я,+Я₄

я₄ + ^я, ^я, + ^я

₄

Р4

Р1

Р2

Р4

+

Р5

Р1 Р4

Е 6

II Р2

—

-т—с

X

Р3

Р5

Р3

II

Р4

Е1

В г

Рис. 25. Застосування методу накладенн

яВикористовуючи метод контурних струмів, установимо ще одну важливу властивість лінійних електричних кіл - властивість чи принцип взаємності.

Суть цього принципу: якщо в схемі довільної конфігурації єдине джерело напруги Еі діє у вітці з резистором Я в напрямку від точки 1 до точки 2 та викликає у вітці з резистором Я₂ струм І₂, що спрямований від точки 3 до точки 4 (рис. 26, а), то таке єдине джерело Е₂, величина якого дорівнює Е₁, увімкнено у вітку з резистором Я₂ (рис. 26,6), у напрямку від точки 3 до точки 4, викличе струм І₁ у вітці з резистором Яі, спрямований від точки 1 до точки 2, величина якого дорівнює струму І₂.

а

Рис. 26. До принципу взаємності Для поглибленого вивчення цієї теми використовуйте літературу [1, с.29-48].Лекція 6. Метод вузлових напруг

Зміст лекції - розглянуті такі питання: Складання вузлових рівнянь, особливості додавання вузлових рівнян ь для кіл, які мают ь вітку з нул ь овим опором.

Мета лекції - навчитися застосовувати метод вузлових напруг для розрахунку кіл.