2. Додавання рівнянь Кірхгофа для розрахунку електричних кіл

Нехай складне коло складається з п_В - віток, має п_у - вузлів і кількість незалежних контурів п=: = пХ = пВ - пУ + 1.

Оскільки схема має п_В віток, то невідомих у схемі буде теж п_В і для їхнього розрахунку треба скласти п_В рівнянь.

За першим законом Кірхгофа можна скласти незалежних рівнянь на одиницю менше ніж кількість вузлів, за другим законом Кірхгофа можна скласти стільки рівнянь, скільки незалежних контурів має схема.

Проілюструємо на прикладі схеми (рис. 18) додавання рівнянь за законами Кірхгофа.

Рис. 18. Схема електричного кола

При додаванні рівнянь Кірхгофа радимо дотримуватися такої послідовності:

1. 19)).

   Визначити кількість вузлів, віток та незалежних контурів (побудувати граф (рис.

Дана схема має 5 вузлів, 8 віток та 4 незалежних контури.

2. Задамося умовно-додатним струмом у вітках та приймемо напрямок обходу контурів за годинниковою стрілкою. Складемо чотири рівняння за першим та чотири рівняння за другим законом Кірхгофа:

Рис. 19. Граф до схеми на рис.18 1.	- I1 - I2 + I6 = 0;	1. R1I1 - R3I3 - R2I2 = 0;
2.	I1 + I3 - I4 = 0;	1. R4I4 + R7I7 - R5I5 + R3I3 = E4;
3.	I2 - I3 - I5 = 0;	3. R8I8 - R7I7 = 0;
4.	I4 - I7 - I8 = 0;	4. R2I2 + R5I5 + R6I6 = E6.

3. Розв’язавши цю систему рівнянь, отримаємо значення струмів віток схеми. Якщо числові значення струмів будуть додатні, то струми будуть мати таке ж спрямування, яке позначено на схемі, а якщо деякі числові значення струмів будуть від’ємні, то струми будуть мати протилежне спрямування.

3. Особливості додавання рівнянь за законами Кірхгофа при наявності у колі джерел струму

Для схеми, що зображена на рис. 20, складемо рівняння за законами Кірхгофа.

1. Дана схема має 6 вузлів, 9 вітках, в двох віток струми відомі, тому що в них знаходяться ідеальні джерела струму, але невідомі напруги на цих джерелах струму. Отже, в даній схемі 7 невідомих струмів і 2 невідомі напруги на джерелах струму.

Побудуємо граф (рис. 21) і знайдемо незалежні контури.

2. Задамося умовно-додатним струмом у вітках та приймемо напрямок обходу контурів за годинниковою стрілкою. Складемо 5 рівнянь за першим законом Кірхгофа та 2 рівняння за другим законом Кірхгофа:

1. I1 + I2 - I4 = 0;

2. -I2 + I3 - J5 = 0;

3. -I1 - I3 + I6 = 0;

4. I4 - I7 - J9 = 0;

J5 + I7 - I8 = 0; 6. R1I1 - R2I2 - R3I3 = 0; 7. R4I4 + R7I7 + R8I8 + R6I6 + R3I3 + R2I2 = E

4© *

7

і)

ґі)

5^і

©

@ ⁶

Рис. 21. Граф до схеми на рис. 20

Розв’язавши цю систему рівнянь, знайдемо невідомі струми у вітках.

3. Задамося умовно-додатним напрямом напруги на джерелах струму протилежно напрямку струму. вибираємо контур, до складу якого буде входити тільки одне джерело струму та складемо для нього рівняння за другим законом Кірхгофа:

Я5І5 - Ш5 + Я8І8 + Ябіб + Я3І3 = 0 та Я9І9 - Я8І8 - Я7І7 - Ш9 = 0.

Тепер ми зможемо знайти напругу на джерелах струму:

Ш5 = Я5І5 + Я8І8 + Я7І7 + Я3І3 ; Ш9 = Я9І9 - Я8І8 - Я7І7.

Приклад. Розрахувати струми у всіх вітках електричного кола, схема якого наведена на рис. 22. Параметри елементів електричного кола:

Е5 = 50У; Л = 2А; 12 = 5А; Іб = 10А;

Я1 = Я2 = Я3 = Я4 = Яб = 10 .

Визначимо кількість вузлів, віток і незалежних контурів: п_В = б;

пУ = 4; пК = 0 (тому що три струми вже відомі і тому необхідно скласти тільки три рівняння за першим законом Кірхгофа).

^и

л

©

Рис. 22. Схема електричного кола

и

и

а

2. вЗадамося умовно-додатним напрямом струмів у вітках та складемо три рівняння:

1. Іі + Із-І2 = 0 " Із = І2-Іі = 5-2 = 3Л;

2. -Іі + Іб + Із = 0 " І5 = Іі-Іб = 2- 10 = -8А;

3. І2 + І4-Іб = 0 " І4 = Іб-І2= 10-5 = 5Л.

Струм І₅ (зі знаком “мінус”) має в електричній схемі протилежне спрямування.

4. Задамося умовно-додатними напрямками напруги на джерелах струму, та знайдемо їхні числові значення, склавши рівняння за другим законом Кірхгофа:

Я1Ш1 - Я3І3 - Е5 - Ш1 = 0,

тоді

Ш1 = Я1Ш1 - Я3І3 - Е5 = 10 2 - 10 3 - 50 = -б0У, Я2Ш2 - Ш2 - Я4І4 + Я3І3 = 0,

тоді

Ш2 = Я2Ш2 - Я4І4 + Я3І3 = 10 5 - 10 5 + 10 3 = 30У,

Я4І4 - Ш6 + Я6Ш6 + Е5 = 0,

тоді

Ш6 = Я4І4 + Я6Ш6 + Е5 = 10 5 + 10 10 + 50 = 200У.

Щоб перевірити правильність розрахунків

Ш6 = Я4І4 + Я6Ш6 + Е5 = 10 5 + 10 10 + 50 = 200У.

необхідно скласти баланс потужностей.

Знайдемо потужність джерел електричної енергії:

Р3 = Е5І5 + ШШ + Ш2Ш2 + Ш6Ш6 =

= 50 (-8) + (-60) 2 + 30 5 + 200 10 = 1630 W

(необхідно відмітити, що джерела напруги та струму Ш₁ працюють в режимі приймачів).

Потужність, яка витрачається в резисторах:

Р_пр = Ш12Я1 + Ш22Я2 + І32Я3 + І42Я4 + І62Я6= = 22 10 + 52 10 + 32 10 + 52 10 + 102 10= 1630 W.

Баланс виконався, отже струми у вітках знайдено вірно.

Для поглибленого вивчення цієї теми дивіться [1, с.16-24].

Лекція 5 . Метод контурних струмів

Зміст лекції - будуть розглянуті: складання контурних рівнянь; особливості складання контурних рівнян ь для кіл, які мают ь вітки з ідеал ьними джерелами струму; принципи накладання та взаємності.

Мета лекції - навчитися застосовувати метод контурних струмів для розрахунку

кіл.