Глава 2 Математические основы криптографии
Большое влияние на развитие криптографии оказали появившиеся в середине нашего века работы американского математика Клода Шеннона. В этих работах были заложены основы теории информации, а также был разработан математический аппарат для исследований во многих областях науки, связанных с информацией. В данной главе мы кратко ознакомим вас с основополагающими математическими понятиями и идеями, без знания которых успешная работа в области криптографии невозможна.
2.1. Приведение любой информации к двоичному виду
Для того, чтобы доказывать математические теоремы, нужно четко определить объекты, с которыми мы имеем дело. При шифровании текста необходимо, в первую очередь, знать, какие символы могут в нем встречаться, или, проще говоря, знать алфавит. Но алфавитов существует великое множество. Передаваемая информация может состоять и просто из наборов цифр, скажем, номера счетов в банке и деланные по ним выплаты. Поэтому естественно работать с некоторым обобщенным алфавитом – тогда одну и ту же теорему не нужно будет отдельно доказывать, например, для текстов на русском и на английском языке.
В теоретической криптографии принято работать с универсальным алфавитом, состоящим из всех двоичных словнекоторой длины. Двоичное слово длиныn– это набор изnнулей и единиц. Соответствующий алфавит состоит из 2n символов. Выбор такого алфавита объясняется многими соображениями.
При использовании компьютеров удобно представлять информацию в виде последовательностей нулей и единиц. Это, в частности, обусловлено применяемыми техническими средствами: в компьютере используются элементы, которые могут находиться в одном из двух состояний. Одно из них обозначается «0», а другое – «1».
С другой стороны, слова в любом алфавите можно легко перевести в двоичные слова. Пусть мы имеем дело с текстами на русском языке и пусть буквы «е» и «ё», а также «и» и «й» не различаются, а пробел между словами считается отдельной буквой (обозначение: _). Тогда наш алфавит состоит из тридцати двух символов. Рассмотрим теперь телеграфный код– старое техническое применениедвоичной системы счисления. Он состоит тоже из 32 символов – двоичных слов длины 5. (Подробно о двоичной и других системах счисления можно прочитать в брошюре С.В. Фомина «Системы счисления» из серии «Популярные лекции по математике».) Сопоставим каждой букве двоичное слово длины 5 следующим образом:
_ → 00000, A→ 00001,Б→ 00010,B→ 00011,Г→ 00100,Д→ 00101, ... ,Ю→ 11110,Я→ 11111.
Заменив в тексте каждую букву на соответствующее двоичное слово, получим двоичный вид нашей информации – некоторую последовательность нулей и единиц (или, как принято говорить, битов). Подобным образом можно поступить и с любым другим алфавитом.
На практике создаются специальные устройства, которые позволяют автоматически переводить вводимую человеком текстовую информацию в двоичную.
Более того, в настоящее время практически любая информация – речь, телевизионные сигналы, музыка и др. – может храниться и пересылаться в двоичном виде. Для работы с такой информацией используют специальные устройства: например, АЦП и ЦАП (аналого‑цифровой и цифро‑аналоговый преобразователи), устройства для цифровой записи и воспроизведения музыки.
Таким образом, двоичные слова и двоичные последовательности – типовые объекты в криптографических исследованиях.
Подумайте сами:
1. Докажите, что каждое натуральное число nединственным образом представляется в видеn=2k +ak −12k −1+...+a12+a0, гдеk– некоторе целое неотрицательное число, а каждое из чиселak −1, ...,a0– либо 0, либо 1.