Методы численного интегрирования

Очень интересными в программировании являются задачи на применение методов численного интегрирования. Эти задачи обычно решаются с помощью рассмотренных в этой главе инструкций цикла.

Из курса математического анализа известно, что выражение , где— первообразная функциии— произвольная постоянная, называетсянеопределенным интеграломот функциии обозначается символом, причемназывается подынтегральной функцией,— подынтегральным выражением,— переменной интегрирования;— знак неопределенного интеграла. Таким образом, по определению, если.

Если существует предел , не зависящий от способа разбиения отрезкаи выбора точек, то этот предел называетсяопределенным интеграломфункциина отрезкеи обозначается символом, то есть

При этом называется интегралом на отрезке,— подынтегральной функцией,— подынтегральным выражением, числаи— пределами интегрирования (— нижний предел,— верхний предел), а сумма— интегральной суммой.

Если функция непрерывна на отрезке, то определенный интеграл от этой функции в пределах отдосуществует и его можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница:

Здесь — первообразная функции.

Для большинства функций первообразную не удается выразить через элементарные функции. Кроме того, при практических расчетах очень часто аналитическое выражение подынтегральной функции неизвестно, и она задается в виде таблицы значений в некоторых точках интервала наблюдения. Все это приводит к замене определенного интегрирования численными методами. Задача численного интегрирования состоит в следующем: требуется найти определенный интеграл на отрезке, если подынтегральная функция задана таблично.

Численные методы также позволяют избежать громоздких расчетов в тех случаях, когда результат приемлем с определенной степенью точности. Точность вычислений (максимально допустимая ошибка в результате всех вычислений, из которых складывается погрешность), как правило, оговаривается заранее при постановке задачи. Точность вычислений будет достигнута, если абсолютная погрешность (абсолютная величина разности между точным и приближенными значениями) не превосходит(очень маленькое положительное число).

Сущность большинства численных методов вычисления определенных интегралов состоит в замене подынтегральной функции аппроксимирующей функцией, для которой легко можно отыскать первообразную среди элементарных функций:

Здесь — приближенное значение интеграла, а— погрешность вычисления интеграла.

Для получения аппроксимирующей функции, когда подынтегральная функция задана таблично, прибегают к теории интерполяции. Задача нахождения интерполирующей функции становится однозначной, если в качестве интерполирующей для функции , заданнойсвоими значениями, выбрать многочлен степени не выше, значения которого в узлах интерполяции (точках разбиения отрезка интегрирования) совпадают со значениями подынтегральной функции (табличными значениями).

Используемые на практике методы численного интегрирования можно классифицировать в зависимости от способа аппроксимации подынтегральной функции:

• методы Ньютона-Котеса, основанные на полиномиальной аппроксимации подынтегральной функции;

• сплайновые методы, основанные на аппроксимации подынтегральной функции сплайнами, представляющими собой кусочный полином;

• методы наивысшей алгебраической точности, использующие неравноотстоящие узлы, вычисленные по алгоритму, обеспечивающему минимальную погрешность интегрирования;

• методы Монте-Карло, в которых узлы интерполяции выбираются при помощи датчика случайных чисел;

• специальные методы, алгоритмы которых разрабатываются на основе особенностей конкретных подынтегральных функций.

Следует отметить тот факт, что погрешность уменьшается при увеличении числа точек разбиения отрезказа счет более точной аппроксимации подынтегральной функции, однако при этом будет возрастать погрешность суммирования частичных интегралов и, начиная с некоторого значения, она станет достаточно большой. Поэтому возникает необходимость разработки оценки погрешности каждого из методов интегрирования.

Формулы приближенного интегрирования (квадратурные формулы) можно найти в справочниках по высшей математике. Приведем вывод оценки точности в программе для методов трапеций и прямоугольников.