Числовые ряды

В программировании очень часто встречаются задачи на числовые ряды. Именно для решения подобного рода задач обычно используются рассмотренные здесь инструкции цикла. Числовой ряд — это последовательность чисел, зависящих от своих номеров. Определение этой зависимости является одной из целей данного класса задач. Если закономерность найдена, то можно, задав номер ряда, определить его значение.

Например, дан ряд 2, 4, 8, 16, 32, … .

Нетрудно определить, что значение элемента ряда с номером nравняется 2ⁿ.

Кроме значения элемента ряда в задачах подобного типа часто требуется определить:

• значение текущего элемента ряда;

• значение предыдущего элемента ряда;

• сумму элементов ряда;

• количество элементов ряда.

В конкретной задаче на числовой ряд обычно задается условие прекращения суммирования элементов ряда, например:

• значение текущего элемента ряда меньше (больше) заданного числа;

• сумма элементов ряда больше заданного числа;

• разность между текущим и предыдущим элементами ряда больше (меньше) заданного числа;

• номер элемента ряда больше заданного числа.

При решении задач на числовые ряды рекомендуется соблюдать следующую последовательность:

1. Назначение нумерации элементов ряда. Для этого на основании анализа зависимости изменения знака и значения элемента ряда от его номера следует определить, с какого элемента начинать нумерацию. Например, в случае ряданумерацию следует начинать с первого элемента, тогда. Для ряданумерацию удобнее начинать со второго элемента ряда.

Если выбрана нумерация ряда не с первого элемента, то это необходимо учитывать при выводе информации.

2. Ряды могут быть также знакопеременными, то есть элемент ряда может быть как положительным, так и отрицательным числом. Например, . Очень часто знак элемента ряда удобно задавать через функцию mod (вычисление остатка от деления - %). В приведенном выше примере знакопеременного ряда видна следующая закономерность изменения знака: приn mod 3 = 1 (то есть если номер элемента дает при делении на 3 остаток 1) знак элемента положительный, иначе — отрицательный.

3. В результате анализа элементов ряда определяется формула для нахождения текущего элемента ряда. Этот этап является наиболее сложным.

Можно сформулировать основные принципы нахождения закономерности:

• если элемент ряда представляет собой простую дробь, то сразу можно записать , гдеa— числитель,z— знаменатель;

• если элемент ряда c,aилиzизменяется медленно, то это означает, что в соответствующем выражении нужно применить сложение;

• если элемент ряда c,aилиzизменяется быстро, то это означает, что в соответствующем выражении следует применить либо умножение, либо возведение в степень (или то и другое).

Часто помогает разложение на множители.

Иногда в рядах применяется факториал. Например, , то есть. Такой функции в языке Паскаль нет, поэтому формулу для вычисления факториала придется писать самому.

4. В зависимости от условия задачи выбирается структура алгоритма.

5. Составляется алгоритм решения задачи.

6. Полученный алгоритм проверяется на начальных значениях данного ряда.

7. Составляется программа.