2. Элементы орбиты и законы Кеплера. Основные формулы невозмущённого движения.

От постоянных интегрирования обычно переходят к другим параметрам, по которым можно вычислять координаты и скорости спутника на любой момент времени в инерциальной системе отсчёта. Их называют элементами орбиты. По своему назначению элементы орбиты делятся на три группы. К первой группе относят элементы, характеризующие размеры и форму орбиты. Это большая полуосьи эксцентриситет обиты е:

К этой же группе элементов относятся: фокальный параметр , малая полуось, радиусы орбиты в перигееи апогее:

а так же период обращения и среднее движение:

Периодом обращения спутника вокруг центрального тела называется промежуток времени между моментами двух последовательных прохождений через произвольную точку орбиты. Среднее движениеинтерпретируется как средняя угловая скорость движения спутника.

Элементы второй группы задают ориентировку орбиты в пространстве. Они связаны с векторными интегралами площадей и Лапласа. К этим элементам относятся: наклонение , долготаи аргумент перигея.

Наклонениемназывают угол между плоскостью экватора и плоскостью орбиты. Его можно вычислить по формуле:

Очевидно, что . Орбиты с наклонением, равным 0º или 180º называют экваториальными, а с наклонением 90º– полярными. Орбиты сназывают с прямым движением спутника, а с– орбиты с обратным движением спутника ( по отношению к направлению вращения Земли).

Долготой орбитыназывается угол, отсчитываемый в плоскости экватора от направления на точку весеннего равноденствия (нуль-пункта небесной системы координат) до направления на восходящий узел орбиты . Долготу определяют по формуле:

Аргументом перигеяназывается уголмежду направлениями на восходящий узел и на перигей, отсчитываемый по направлению движения спутника:

.

Для долготы и аргумента перигея справедливо: ,.

Элементы третьей группы задают положение спутника на орбите. Оно устанавливается с помощью момента прохождения перигея или любой из аномалий (обычно истинной или средней) с указанием эпохи.Истинной аномалиейназывается угол между направлениями на перигей и на спутник, отсчитываемый в сторону движения спутника:

Средняя аномалияпредставляет собой угол от направления на перигей до направления на некоторое фиктивное положение спутника, движущегося равномерно по орбите:

.

Уравнение для средней аномалии иногда называют динамическим интегралом, в котором содержится шестая независимая постоянная интегрирования – момент проходжения перигея .

Для связи истинной и средней аномалии вводится эксцентрическая аномалия. Чтобы её показать, вокруг орбитального эллипса описывается окружность с центром в точке С – геометрическом центре эллипса, с радиусом, равным его большей полуоси. Через положение спутника – точку– проводится перпендикуляр к большей полуосидо пересечения с окружностью в точке. Соединяются точки С и. Угол, отсчитываемый при центре эллипса от направления на перигей до направления на точку, называетсяэксцентрической аномалией. Истинная и эксцентрическая аномалии связаны соотношением:

,

а средняя и эксцентрическая аномалии связаны уравнением Кеплера:

.

Часто используется угол от направления на восходящий узел до направления на спутник, называемый аргументом широты:

.

Существует множество других систем элементов. Приведенные здесь параметры называют Кеплеровыми элементами орбиты.

Законы движения спутника вокруг центрального тела были открыты И.Кеплером в начале XVIIв. Выведенные вначале для вращающихся вокруг Солнца планет, они оказались пригодными для всех других тел, поскольку в их основе лежит закон всемирного тяготения.

1-й закон Кеплера. Движение спутника вокруг притягивающего тела всегда происходит по коническому сечению (окружности, эллипсу, параболе, гиперболе, прямой), в одном из фокусов которого находится притягивающий центр. Закон выражается с помощью уравнения орбиты, имеющей вид:

.

В зависимости от величины эксцентриситета различают отбиты в виде окружности (е=0), эллипса (0 < е < 1), параболы (е = 1), гиперболы (е > 1) и прямой (е = ∞). В дальнейшем мы будем рассматривать только эллиптические орбиты.

Для описания 2-го закона Кеплера потребуется ввести понятие секториальной скорости . Это площадь, описываемая радиусом-вектором спутника за единицу времени. Она связана со скалярной константой площадей С:

.

Площадь, описываемую радиусом-вектором спутника за промежуток времени , можно получить в виде определённого интеграла:

,

что является математической записью 2-го закона Кеплера: за равные промежутки времени радиус-вектор спутника описывает равные площади. Вследствии этого, линейная скорость движения спутника по орбите в перигеебольше, чем скорость в апогее.

3-й закон Кеплераформулируется следующим образом: квадраты периодов обращения спутников пропорциональны кубам больших полуосей. Математическое выражение для него получается из формулыЕсли у центрального тела (Земли) имеется два спутника, соответственно, с периодамиР₁ иР₂и с большими полуосями

и, то для квадратов их периодов можно записать:

А отношение этих выражение даёт формулу 3-го закона Кеплера: .