Закон Гука:

S_упр=-ry,

где r- поперечная сила при единичном упругом смещении:

Для определения неупругих (демпфирующих) сил обычно принимается допущение (гипотеза):

S_н.упр=-.

Подставляя (2), (3) в (1), получим:

, или

.

Уравнение (4) является дифференциальным уравнением колебаний осциллятора при кинематическом возбуждении (сейсмическом воздействии).

При получим дифференциальное уравнение свободных колебаний

;

или

;

где .

Решение уравнения (6):

;

где С и - определяются из начальных условий (приt=0, )

- частота собственных колебаний (с учетом демпфирования), определяемая по формуле:

¹;

где - частота собственных колебаний (без демпфирования), определяемая по расчетной формуле:

.

Вернемся к уравнению (4). Его можно формально трактовать как уравнение вынужденных колебаний под воздействием силы , приложенной к массе М при неподвижном основании:

Воздействие силы Р_(t) можно представить как воздействие на систему суммы элементарных импульсов:

Каждый такой импульс вызывает свободные колебания типа (7) (tзаменяется на):

.

Просуммируем действие всех элементарных импульсов, т.е. возьмем интеграл от левой и правой частей уравнения (10):

.

В литературе решение (11) носит название интеграла Дюамеля.

Подставим в (11) вместо :

.

Строго говоря, к решению (12) следовало бы добавить решение (7) для свободных колебаний. Однако, главная часть решения - это решение (12), т.к. свободные колебания (см. график), возникнув в первый момент землетрясения, быстро затухают.

Основные положения теории сейсмостойкости и этапы ее развития

История человечества хранит память о целом ряде сейсмических катастроф, приведших к многочисленным жертвам и огромному материальному ущербу. Сейсмические наблюдения в своей простейшей форме ведутся уже с древних времен. Примитивные антисейсмичесмические мероприятия, характерные для раннего периода сейсмостойкого строительства, основывались на опыте землетрясения. Дальнейший процесс в этой области тесно связан с изучением последствий разрушительных землетрясений, которые служили основным источником этого опыта , стимулировали оживленный интерес к вопросам сейсмостойкости сооружений. Во второй половине XlX века, после ряда разрушительных землетрясений, в соответствующих районах Италии, Японии и других стран были разработаны строительные правила, предусматривающие определённую систему сейсмических мероприятий.

1. Зарождение теории сейсмостойкости

Началом зарождения теории сейсмостойкости сооружений как научной дисциплины следует считать период конца XlX и начала XX века, следующий за разрушительными японскими землетрясениями в 1891 году Мино-Овари. При обследовании последствий этой крупнейшей кастрофы японскими учёными был произведён анализ смещения и опрокидывания памятников, массивов и т. д.; на основе этого были получены первые приближённые данные о максимальных сейсмических ускорениях грунтов, позволившие поставить задачу количественного исследования сейсмического эффекта. С целью анализа сейсмических сил в сооружениях японский ученый Омори в 1900 году провел специальные опыты с кирпичными столбиками. На основе результатов этих опытов Омори и Сано была разработана методика определения сейсмических сил, получившая название статической теории сейсмостойкости.

2. Первый этап - статическая теория

Рис. 1.1 Модель статической теории

Колебания грунта при землетрясении носят хаотический (“дикий”) характер не укладывающийся в четкие формы математической закономерности. Создание обоснованной теории сейсмостойкости затруднялось так же малой продолжительностью землетрясений (секунды) и их редкой повторяемостью. В связи с этим в первой теории сейсмосойкости, называемой статической использовалась самая простая модель здания (сооружения) в виде абсолютно жесткого тела (рис. 1.5). Кроме этого предполагается, так же, что здания не имеют вращательных перемещений. Поэтому ускорения всех масс сооружения равны ускорениям в его основании. Последние принимаются совпадаюшими с ускорениями земной поверхности.

В связи с указанными выше предпосылками сейсмичекая сила (сила инерции) определяется по следующей формуле

(1.27)

где - максимальное ускорение грунта ;

- масса в уровне .

(1.28)

где: -коэффициент сейсмичности,

- вес массы (ускорение силы тяжести).

Коэффициент имеет следующие значения:

=0,025 (для 7,0 баллов),

=0,05 (для 8,0 баллов) ,

=0,1 (для 9,0 баллов).