8. Задача для самостоятельной подготовки студентов.

8.1 Задача для самостоятельного изучения материала с темы.

8.1.1.Практическое вычисление вероятностей случайных событий

В ряде случаев высчитать вероятность события оказывается проще, если представить ее в виде комбiнацiї более простых событий и использовать соответствующие теоремы теории вероятностей.

1. Теоремы составления вероятностей

• несовместимые события:

,

где - вероятность появления события А или В ( любой );

• совместные события:

,

где - вероятность появления сложного события, которое составляется из реализаций событий А и В.

Пример 1.

Студенту предложен тест, в котором необходимо выбрать единый правильный ответ из 5 вариантов.

Определить вероятность правильного выбора ответа неподготовленным студентом.

Решение. Все 5 вариантов ответов создают полную систему событий, для которой сумма вероятностей равняется 1. Для неподготовленного студента каждый из возможных вариантов выбора одинаково вероятный, поэтому вероятность правильного ответа в этом случае равняется 20%.

Пример 2.

Определить вероятность правильного выбора ответа неподготовленным студентом, если с 5 возможных вариантов 2 верные.

Решение. Для неподготовленного студента каждый из возможных вариантов выбора одинаково вероятный (20%) и несовместимый с другими, поскольку сразу после первого ответа компьютер переходит к следующему вопросу. Поскольку с 5 возможных вариантов 2 верные, а какой cаме с этих 2 правильных ответов студент выберет не имеет значения, то нужно применить теорему составления вероятностей несовместимых событий:

.

Вероятность правильного ответа в этом случае равняется 40%.

Пример 3.

Пусть вероятности двух некоторых заболеваний А и В равняются соответственно = 0,15 и = 0,05 и, больше того, возможное наличие обеих заболеваний в одной и той же человека с вероятностью = 0,1.

Определить вероятность того, что в больного одна из этих болезней (безразлично, которая cаме).

Решение. Поскольку в одной и той же человека возможное наличие обеих заболеваний (события А и В совместные), а которая cаме из этих болезней в пациента на данном этапе обследования безразлично, то искомую вероятность нужно вычислять, употребляя теорему составления вероятностей совместных событий:

.

Таким образом, искомая вероятность равняется 0,1.

2. Теорема умножения вероятностей

• независимые события:

,

где - вероятность сложного события, которое составляется из совместного появления событий А и В,

• зависимые события:

,

где - условная вероятность реализации события В при условии, что событие А произошла.

Пример 4.

В отделении 4 пылать. Вероятность того, что на протяжении ночи будет нужна кислородная подушка, для 1-ої и 3-ої палат составляет 0,2, для 2-ої - 0,3, для 4-ої - 0,1.

Определить вероятность того, что на протяжении ночи будет нужна кислородная подушка в 1-в и 4- у палаты.

Решение. Нужды в кислородной подушке для больных в разных палатах не зависят одна от одной, поэтому нужно в данном случае воспользоваться теоремой умножения вероятностей для независимых событий:

.

Искомая вероятность равняется 0,02 .

Пример 5.

Пусть вероятность излечения некоторого заболевания при своевременном обращении к врачу равняется 0,7, а вероятность своевременного обращения к врачу равняется 0,5.

Какая вероятность успешного выхода лечения при этих условиях?

Решение. Успех лечения зависит от своевременного обращения к врачу, то есть события зависимые, а затем надо применять теорему умножения вероятностей зависимых событий:

.

В данном случае - условная вероятность реализации события В (успешное лечение заболевание) при условии, что событие А (своевременное обращение к врачу) произошла, равняется 0,7. Подставляя числовые данные, получаем искомый ответ 0,35.

3. Теорема о полной вероятности

,

где - вероятности событий , которые создают полную систему, - вероятность события А, которое в зависимости от того, которая из событий произошла, реализуется с условными вероятностями .

Пример 6.

В условиях приклада 4 дополнительно известно, что после использования кислородной подушки приходится применять инъекции, при этом соответствующие вероятности для 1-ої и 4-ої палат равняются 0,2, для 2-ої 0,3, для 3-ої 0,1.

Определить вероятность применения инъекций в отделении на протяжении ночи.

Решение. По условию полная система событий (использование кислородной подушки в i - палате) составляется с 4 событий (4 пылать в отделении, то есть m = 4), - вероятности этих событий, а - условные вероятности применения инъекций в соответствующих палатах после использования кислородной подушки. Для определения вероятности применения инъекций во всем отделении на протяжении ночи нужна теорема о полной вероятности

.

Подставляя числовые данные, находим ответ

= 0,2*0,2+0,3*0,3+0,2*0,1+0,1*0,2 = 0,17.

4. Теорема Байєса

.

где - вероятности событий , которые создают полную систему, - вероятность события А, которая в зависимости от того, которая из событий произошла, реализуется с условными вероятностями , а - условные вероятности событий системы , когда событие А уже произошло.

Пример 7.

(Сохраненные условия примера 6). Утром заведующему отделением стало известно, что ночью применялись инъекции. Какая вероятность того, что это произошло в 2-ій палате?

Решение. Известные - вероятности использования кислородной подушки, - условные вероятности применения инъекций в соответствующих палатах после использования кислородной подушки и известная вирахована в примере 6 - вероятность применения инъекций во всем отделении. Для определения условной вероятности - нужно воспользоваться теоремой Байєса

.

Подставляя числовые данные, получаем искомый ответ

Итак, инъекции использовались в 2-ій палате с вероятностью 53%.

8.1.2. Задачи для самостоятельного решения

Для самостоятельного розвязання предлагаются задачи 4.5 С 1 – 4 (Жуматій П.Г. “Математическая обработка медико-биологических данных. Задачи и примеры”. Одесса, 2009, с. 19-22)

8.1.3. Контрольные вопросы

1. Случайные события, их относительная частота и вероятность.

2. Составление вероятностей несовместимых событий.

3. Составление вероятностей совместных событий.

4. Умножение вероятностей независимых событий.

5. Умножение вероятностей зависимых событий.

6. Вычисление полной вероятности.

7. Теорема Байєса.

8. Случайные величины: дискретные и непрерывные.

9. Распределение, ряд распределения и многокутник распределения дискретной случайной величины.

10. Функция распределения и ее график.

11. Меры положения центра распределения.

12. Меры вариабельности значений случайной величины.

13. Плотность распределения и кривая распределению непрерывной случайной величины.

14. Функциональная зависимость между случайными величинами.

15. Корреляционная зависимость между случайными величинами.

16. Регрессия, уравнение и линии регрессии.

17. Коваріація и коэффициент корреляции.

18. Уравнение линейной регрессии.