6. Информацию для упрочения исходных знаний-умений можно найти в пособиях:

1. Жуматій П.Г. Сеницька Я.Р. Элементы высшей математики. Методические указания для студентов медицинского інститута. Одесса, 1981.

2. Жуматій П.Г. “ Основы интегрального исчисления”. Одесса, 2009.

3. Жуматій П.Г. “Математическая обработка медико-биологических данных. Задачи и примеры”. Одесса, 2009.

7. Содержание учебного материала из данной темы с выделением основных узловых вопросов.

Теория вероятностей развивалась как изучения выходов (результатов) испытаний (экспериментов, наблюдений, массовых обследований).

Любой из возможных выходов испытаний называется событием.

Существуют два типа связей между условиями наблюдения и его результатами:

• условия наблюдения однозначно определяют его выход - такие наблюдения называют детерминированными и их результат можно зазделегідь точно предусматривать на основе соответствующих законов;

• при одних и тех же условиях могут происходить виключаючі друг друга события; такие события называют случайными, однако массовое повторение наблюдений при этих условиях дает в среднем результат, который можно предусмотреть с достаточной точностью с помощью статистических закономерностей.

Описанием статистических закономерностей, их изучением и кiлькiсною оценкой занимается теория вероятностей.

Случайное событие массового характера можно охарактеризовать числом, подсчитавши его относительную частоту

,

- число реализаций случайного события в серии из испытаний.

Более точной характеристикой является вероятность случайного события , которое определяется предельным переходом

.

Очевидно, что вероятность может принимать значение в интервале

.

Границам этого интервала отвечают:

• = 0 - событие А никогда не происходит, поэтому такое событие называется невозможной,

• = 1 - событие А происходит всегда, поэтому такое событие называется достоверной.

Реализация любых случайных событий может по-разному влиять на другие случайные события, поэтому различают:

• несовместимые события, когда реализация одних случайных событий исключает наступление других случайных событий,

• совместные события, когда реализация одних случайных событий не исключает наступление других случайных событий.

Зависимые события: событие B называется зависимой от А, если вероятность ее реализации зависит от того, произошло событие А или ни. При этом для зависимого события Во вводится понятия условной вероятности Р(В/А), под которой понимают вероятность реализации события В при условии, что событие А произошла.

Независимые события: события независимые, если Р(В/А) = Р(В), поскольку при этом вероятность реализации события В не зависит от появления А.

Систему несовместимых событий называют полной, если при испытании обязательно происходит одна из этих событий.

Понятно, что сумма вероятностей событий, складаючих полную систему, равняется 1, то есть

.

Для кiлькiсного описания результатов испытаний применяют случайные величины, которые принимают значение, которые меняются от испытания до испытания и зависят от тех или других обстоятельств, которые не подвергаются учету.

Различают:

• дискретные случайные величины, которые приобретают лишь отдельные, изолированных значений (число вызовов врача, число случаев заболеваний),

• непрерывные случайные величины, которые приобретают любые значения внутри некоторого интервала (температура тела больного, давка крови).

Случайная величина Х полагает заданной, если известно ее распределение (закон) - соотношение между возможными значениями случайной величины и соответствующими им імовірностями.

Распределение может быть задано в виде таблицы, в виде функции распределения и в виде плотности распределения.

Табличное изображение распределения (его называют также рядом распределения) может быть использовано только для дискретной случайной величины с конечным числом возможных значений ( i = 1, 2, 3, ..., n ) :

При графическом изображении ряда распределения в прямоугольной системе координат строят точки (,) и соединяют их отрезками прямой. Полученную фигуру называют многокутником распределения.

Все возможные значения дискретной случайной величины образовывают полную систему событий, итак,

.

Это равенство называют условием нормирования.

Функция распределения является наиболее общей формой изображения закона случайной величины и применяется для задання как дискретных, так и непрерывных случайных величин:

= P ( X  x ) .

Таким образом, функция распределения определяет вероятность того, что случайная величина Х приобретет любое из своих значений, которые не превосходят некоторого числа х.

Графиком функции распределения дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая ломанная линия, а непрерывной случайной величины - плавная непрерывная линия.

Во многих случаях ограничиваются числовыми характеристиками случайной величины. К ним принадлежат:

Меры положения центра распределения:

• математическое ожидание 

,

что характеризует "средний" результат при большом числе испытаний,

• медиана - значение случайной величины, для которого функция распределения равняется 0.5, то есть F() = 0.5 ,

• мода - значение дискретной случайной величины, которая имеет самую большую вероятность.

2. Меры вариабельности значений случайной величины:

• дисперсия

,

• стандартное отклонение

,

• коэффициент вариации C.V.

,

что показывают на сколько в среднем случайная величина может отличаться от своего математического ожидания.

Непрервну случайную величину задают функцией плотности распределения вероятностей , который равняется первой производной от функции распределения

.

График функции плотности распределения вероятностей называют кривой распределения. Значение непрерывной случайной величины, при которому кривая распределения имеет максимум, носит название модой непрерывной случайной величины. Поскольку кривая может иметь не один максимум, то согласно них числом бывают двомодальні и многомодальні распределения.

Условие нормирования непрерывной случайной величины выражается формулой

.

Отметим, что функция распределения выражается через с помощью интеграла

.

Нужно иметь в виду, что размерность функции плотности распределения вероятностей зворотня размерности случайной величины х, а функция распределения , как всякая вероятность, безразмерная величина.

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины вычисляют за формулами

,

.

Любые две или больше случайные величины, которые изучаются вместе, создают систему. Система может составляться с независимых или зависимых одна от одной случайных величин.

Если каждому значению одной величины X по определенному правилу относится в соответствие значения второй величины Y, то, как известно, зависимость между ними называется функциональной.

При этом, если одна из величин случайная, то и другая, залежачая от нее, также есть случайной. Очевидно, что зависимая случайная величина принимает определенное значение при определенном значении второй только тогда, когда на нее никакие другие случайные факторы не влияют. Таким образом, функционально связанные случайные величины X и Y могут принимать разные значения, но, если X получает любое определенное значение, то ему будет отвечать определенное значение Y.

Если случайная величина Y зависит не только от X, но и от других случайных факторов, то зависимость Y от X уже есть не функциональной, а, как ее называют, корреляционной или стохастичною:

корреляционно связанные случайные величины меняют свои распределения при зміненні значений любой с них.

Другими словами, кожному значению любой из случайных величин, связанных корреляционной зависимостью, отвечает определенное распределение второй случайной величины с новыми значениями числовых характеристик математического ожидания и дисперсии.

Понятие о корреляционной зависимости распространяется также и на якiсні показатели, при условии, которое наличия одного из них отвечает определенная вероятность наличия другого.

Например, содержимое любого гормона в крови зависит от большой кiлькості случайных факторов, поэтому зависимость этой случайной величины от любого с них есть корреляционной.

Для описания корреляционной зависимости применяют функции регрессии, которые определяют математическое ожидание одной из случайных величин для каждого значения второй случайной величины.

Соответствующие формулы называют:

• уравнение регрессии Y на X

• уравнение регрессии X на Y

.

Функция регрессии зображається графически линией регрессии. Если обе функции регрессии линейные, то линии регрессии являются прямыми и корреляционная зависимость называется линейной.

Стохастична залежность может быть более-меньш тесной. Степень связи между случайными величинами характеризуют:

• коваріація (корреляционный момент)

• коэффициент корреляции

.

Коэффициент корреляции принимает значение в пределах

.

Необходимо помнить, что при

• =0 - линейная корреляционная зависимость между случайными величинами X и Y отсутствующая, но это еще не затем, что они вообще не зависят одна от одной (возможная нелинейная корреляционная зависимость); прямые регресій параллельные осям координат и перпендикулярные друг другу.

• >0 - с ростом X случайная величина Y увеличивается.

• =1 - случайные величины X и Y связаны функциональной зависимостью; прямые регрессії сливаются в единственный график.

• < 0 - с ростом X случайная величина Y уменьшается.

С коэффициентом корреляции связанные:

• коэффициент регрессии Y на X

,

• коэффициент регрессии X на Y

.

С помощью этих коэффициентов записывают:

• уравнение линейной регрессии Y на X

,

• уравнение линейной регрессии X на Y

.

• Коэффициент корреляции связан с и

.