math

§19.Вычисление тройного интеграла

Пусть в обьеме V определена непрерывная фу нкция U f x, y, z .Зафиксируем переменные x и y. Тогда U f x, y, z является функция единой переменной z. Построим интеграл

Интегралы (19.1) и (19.2) называются трехкратными интегралами. Если представим, что имеем объем V и f x, y, x есть плотность материала, то M V есть масса этого объема. Формулы (19.1) и

(19.2) позволяют вычисление тройного интеграла свести к вычислению трехкратного. А вычисление трехкратных к вычислению обыкновенных интегралов по одной переменной при фиксированных других переменных.

Пр.1. Вычислить интеграл.

Решение:

Пр.2. Вычислить тройной интеграл z x2 y2 dV по ограниченной области V:

V

z 0; z 2; x2 3x y2 0

Решение:

a y z UV . Тогда a2 z UVW

При этом тетраэдр переходит в куб

0<U<a, 0<V<a, 0<w<a и

I U 2V a3

Следовательно:

a4

8

Вывод: Если Q , то справедлива (10.5), т.е. кривол. Интеграл не зависит от формы кривой.

x y

Теорема 1. Для того чтобы криволинейный интеграл не зависел от формы кривой, соединяющие точки А и В и расположенной в односвязной области D, необходимо и достаточно, чтобы интеграл по любому простому замкнутому контуру, проходящему через эти точки, был равен нулю:

Теорема 2. Для того чтобы был равен нулю, криволинейный интеграл Pdx Qdy , где P и Q —

L

непрерывные функции, допускающие непрерывные частные производные по у их в односвязной oбласти D, содержащий контур L, необходимо и достаточно, чтобы

Q Px y

§21. Поверхностный интеграл 1-го рода и его вычисление

1.Задача о вычислении массы поверхности. Пусть в определении область D является поверхность

σ, в каждой точке которой определена скалярная функция U f x, y, z

Поверхностный интеграл 1-го рода или интеграл 1-го рода по поверхности

Дадим физическую интерпретацию этого интеграла. Пусть U f x, y, z 0 непрерывна в каждой точке материальной поверхности σ и представляет плотность материала.

2.Пусть поверхность, вдоль которой берется интеграл , задана уравнением z x, y

Вычисление интеграла первого рода по поверхности сводиться к отысканию двойного интеграла.

§22.Поверхностный интеграл 2-го рода и его вычисление

1.Задача о вычис лении потока жидкос ти через поверхнос ть.

Поверхностный интеграл второго рода или интеграл второго рода по поверхности Интеграл (22.1) наз. еще потоком вектора через поверхность.

Таким образом, вычисление поверхностных интегралов по координатам сводиться к вычислению двойных интегралов. Знак «+» или «-»перед двойными интегралами ставиться в соответствии со

стороной поверхности, соответствующей знаку перед корнем 1 p2 q2 , или в соответствии со знаком cos .

§23.Формула Остроградского для тройного интеграла. Механический смысл дивергенции векторного поля

Формула Остроградского-Грина связывает криволинейный интеграл второго рода по замкнутой кривой с двойным интегралом по

площади, ограниченной этой кривой.