§ 48. Розв’язування задач на складання рівнянь поверхонь та їх дослідження

Задача 48.1. Скдасти рівняння та визначити тип поверхні, утвореної внаслідок обертання лінії навколо осі.

Розв’язання.

Оскільки задана лінія - еліпс, то в результаті обертання навколо осі отримаємо еліпсоїд обертання 47119, який, згідно 47118 визначається рівнянням:

, або .

Задача 48.2. Скдасти рівняння та визначити тип поверхні, утвореної внаслідок обертання лінії навколо осі.

Розв’язання.

Поверхня, отримана в результаті - параболоїд обертання 47122, рівняння якого згідно 47118 запишеться у вигляді:

або .

Задача 48.3. Скдасти рівняння та визначити тип поверхні, утвореної внаслідок обертання лінії навколо осі.

Розв’язання.

Поверхня, отримана в результаті обертання заданої прямої навколо осі -конус, рівняння якого запишеться у вигляді:

,

або, після піднесення обох частин рівності до квадрату,

.

Задача 48.4. Скдасти рівняння та визначити тип поверхні, утвореної внаслідок обертання лінії а) навколо осі; б) навколо осі .

Розв’язання.

а) В результаті обертання заданої гіперболи навколо осі утвориться однопорожнинний гіперболоїд 47120, рівняння якого згідно 47118 набуде вигляду:

, тобто .

б) Якщо ж задана гіпербола обертатиметься навколо осі , отримаємо двопорожнинний гіперболоїд, що задається рівнянням 47121.

У нашому випадку

або

Задачі для самостійної роботи

1. Скласти рівняння та визначити тип поверхні, утвореної внаслідок обертання лінії навколо осі.

2. Скласти рівняння та визначити тип поверхні, утвореної внаслідок обертання лінії навколо осі.

3. Скласти рівняння та визначити тип поверхні, утвореної внаслідок обертання лінії навколо осі.

4. Скласти рівняння та визначити тип поверхні, утвореної внаслідок обертання лінії навколо осі.

5. Скласти рівняння та визначити тип поверхні, утвореної внаслідок обертання гіперболи навколо осі.

Питання для повторення

1. Рівняння еліптичного циліндра.

2. Рівняння кругового конуса.

3. Поверхні обертання другого порядку.

Відповіді

Відповіді до §6.

1. а)-11; б) 29; в)1 ; 2. а)22; б)-125; в)38; 3. а)164; б)124.

2. ;

3. 

4. 

5. 

6. a);б); в); г).

Відповіді до §9.

1. а); б); в); г);;;.

2. а) несумісна; б); в); г) несумісна;

д) ; е)

ж)

3. а);

б) в)

г) д);;;

4. а) ; б);

5. а); б); в); г)

Відповіді до §16

1.. 2.. 3.. 4..

5.. 6.. 7.7. 8. . 9.

10.;. 11.;;.

12. Ні. 13..

Відповіді до §20.

1.-413. 2.. 3. 15 кв.од. 4. 4 5. -66 6.так 7. 70 8. 117 9. 1 куб.од.

_10. 11. так 12. 13.59 14. кв.од. 15. Ні 16.

_17.;;

_{18. 19.} 1)кв.од.; 2)куб. од. 20. 21. 22.3.

Відповіді до §23.

1.а) ; б)2.3.

Відповіді до §25.

1.2.3.4.

Відповіді до §30.

1.2.3.4.5.6.

7. 8.9.10.11.

Відповіді до §33.

1.2.3. Так 4.

5.

7.8.

Відповіді до § 35.

1.2.3.

4. Пряма належить площині 5.

6.7. Не паралельні

Відповіді до § 39.

_1. 2.3. прямі паралельні;

4.5.6.7.8.

9. та10. 11. 12.13.

14. 15. а); б); в)16. ;

17. ;

Відповіді до § 43.

1.2.3.. 4.5.6.

7. 7,25 8. 9.10..

Відповіді до § 44.

_1. Гіпербола 2. Коло 3. Парабола 4. Еліпс 5. Вісь

6. Пара прямих, що перетинаються 7. Порожня множина точок

8. Уявний еліпс 9. Точка 10. Дві паралельні прямі

Відповіді до § 48.

1. -параболоїд обертання.

2. -двопорожнинний гіперболоїд

3. -конус

4. -еліпсоїд

5. -однопорожнинний гіперболоїд