Задачі для самостійної роботи

1. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно до площини

2. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку перпендикулярно прямій

3. Знайти кут між прямою та площиною

4. Знайти точку перетину прямої та площини

5. Скласти рівняння площини, яка проходить через пряму перпендикулярно площині.

6. Скласти рівняння площини, що проходить через пряму паралельно вектору_.

7. _{Перевірити паралельність прямої та площини}

Питання для повторення

1. Кут між прямою і площиною.

2. Умови паралельності та перпендикулярності прямої та площини.

3. Знаходження точки перетину прямої та площини.

4836Equation Section (Next)§36. Загальне і параметричне рівняння лінії на координатній площині. Рівняння кола. Загальне рівняння прямої на площині

Будь яка ліня , що знаходиться у площині,може бути утворена як перетин деякої поверхні, заданої рівнянням, і площини(Рис. 36.1)

Рис. 36.1

Тоді кожна точка лінії задовольняє систему рівнянь

493649\* MERGEFORMAT (.)

Можна у перше рівняння підставити і перепозначити. Тоді 3649 набуває вигляду

503650\* MERGEFORMAT (.)

Це загальне рівняння лінії, що належить площині , записане у тривимірній системі координат. Якщо розглядати двовимірну систему координат, то загальне рівняння лінії виглядає наступним чином:

513651\* MERGEFORMAT (.)

Параметричне рівняння лінії, що належить площині , згідно 265 подається так:

,або,523652\* MERGEFORMAT (.)

Отримаємо рівняння кола радіус , центр якого співпадає з точкою площини.

Для цього у тривимірній системі координат візьмемо сферу у цій самій точці. Вона визначається наступним рівнянням

Коло утворюється як перетин цієї сфери з площиною (Рис. 36.2).

Рис. 36.2

Воно визначається системою рівнянь

яка еквівалентна одному наступному рівнянню вигляду 3651

533653\* MERGEFORMAT (.)

Рівняння 3653 і є рівнянням кола на координатній площині з центром у точціі радіуса.

Пряма на координатній площині може бути утворена перетином цієї площини з довільною площиною (Рис. 36.3), яка задана загальним рівнянням

. 543654\* MERGEFORMAT (.)

Рис. 36.3

Причому у рівнянні 3654 хоча б один з коефіцієнтів чи має бути відмінним від . Інакше площини і 3654 будуть паралельними і не перетинатися. Тоді пряма, що утворюється внаслідок перетину, визначається системою рівнянь

,

або одним рівнянням: .

Для зручності в останньому рівнянні перепозначимо коефіцієнти і запишемо його у вигляді:

553655\* MERGEFORMAT (.)

Має місце теорема:

Теорема. Будь-яке рівняння 3655 визначає на координатній площині пряму, перпендикулярну до вектора .

Дійсно, оскільки , то рівняння 3655 має хоча б один розв’язок. Нехай - будь-який розв’язок цього рівняння. Тоді є вірною рівність

. 563656\* MERGEFORMAT (.)

Складемо різницю рівнянь 3655 і 3656

573657\* MERGEFORMAT (.)

Розглянемо точки і вектор. Рівняння 3657 можна записати у вигляді. Це означає, що усі вектори мають початок у точціі перпендикулярні до вектора, тобто знаходяться на одній прямій, що перпендикулярна до цього вектора. Саме цю пряму визначає рівняння 3656.

Рівняння 3656 називається загальним рівнянням прямої на координатній площині. Якщо розглянути довільні і, то це рівняння визначає усі прямі, що проходять через точкуі називається рівнянням пучка прямих, що проходять через задану точку.

5837Equation Section (Next)§37. Різні види рівняння прямої на координатній площині

1. Рівняння прямої у відрізках на осях.

Якщо знайти пряму, що утворюється перетином площини, заданої рівнянням 2815 у відрізках на координатних осях, і координатної площини , то вона визначатиметься рівнянням

593759\* MERGEFORMAT (.)

Пряма, що задається рівнянням 3759, перетинає осі тау точкахі(Рис. 37.1)

Рис. 37.1

і відтинає на них відрізки довжиною ,. Рівняння 3759 називається рівнянням прямої у відрізках на координатних осях.

2. Канонічне і параметричне рівняння прямої на площині.

Нехай є ненульовий вектор і точка, тоді рівняння прямої, що проходить через дану точку паралельно вектору згідно 3127, має вигляд:

603760\* MERGEFORMAT (.)

Це канонічне рівняння прямої на площині.

Параметричне рівняння отримується з 3129 відкиданням третього рівняння, яке перетворюється у тотожність вигляду :

613761\* MERGEFORMAT (.)

3. Рівняння прямої, що проходить через дві точки.

Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки площини і, складається аналогічно просторовому випадку 3130:

. 623762\* MERGEFORMAT (.)

4. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

Нехай пряма, що проходить через точку , задана рівнянням 3657 і утворює з віссюкут(Рис. 37.2). Тоді нормальний вектор цієї прямої

Рис. 37.2

утворює з осями координат кути іі для його координат виконується рівність

За допомогою останніх формул з 3657 знаходимо

_{Оскільки} , ділимо обидві частини на

Нехай тобто пряма не паралельна осі. Введемо позначення. Тоді останнє рівняння перепишеться у вигляді

633763\* MERGEFORMAT (.)

Число , яке дорівнює тангенсу кута, утвореного прямою з додатним напрямом осі, називається кутовим коефіцієнтом прямої.

Якщо вважати довільним, то рівняння 3763 визначає пучок прямих, що проходять через точку, за виключенням прямої, паралельної до осі.

Здійснимо за рівнянням (9.5) наступні перетворення

і введемо позначення . Знайдемо рівняння

643764\* MERGEFORMAT (.)

де -кутовий коефіціент прямої,- координата точкиперетину прямої з віссю. Рівняння 3764 називається рівнянням прямої з кутовим коефіціентом.

6538Equation Section (Next)§38. Обчислення відстані від точки до прямої і кута між двома прямими на координатній площині

Розглянемо на координатній площині пряму, задану загальним рівнянням

663866\* MERGEFORMAT (.)

і точку поза цією прямою.

Рівняння 3866 у відповідній тривимірній системі координат визначає площину, паралельну до осіз нормальним вектором. (Рис. 38.1).

Рис. 38.1

_{Проведемо} - перпедикуляр до прямої. Тоді - це відстань як до прямої у системі, так і до площини у системі. Тоді за формулою 2819 після покладення, знаходимо

673867\* MERGEFORMAT (.)

Обчислення кута між прямими на координатній площині здійснюється в залежності від того, якими рівняннями вони задані. При задаванні прямих загальним рівнянням кут між прямими визначається як кут між їх нормальними векторамиіі обчислюється за формулою аналогічно до 2922:

683868\* MERGEFORMAT (.)

У випадку завдання прямих канонічними рівняннями

кут між прямими визначається як кут між їх напрямними векторамиіі обчислюється згідно формули 3239:

693869\* MERGEFORMAT (.)

Розглянемо випадок, коли прямі задано рівняннями з кутовим коефіціентами:

703870\* MERGEFORMAT (.)

Нехай ікути, утворені цими прямими з додатним напрямком осі(Рис. 38.2):

Рис. 38.2

Тоді за властивостю зовнішнього кута трикутника , або.

_Тоді , або оскільки ,

713871\* MERGEFORMAT (.)

Оскільки паралельні прямі нахилені до осі під однаковим кутом, то умовою паралельності прямих 3870 є рівність

723872\* MERGEFORMAT (.)

Якщо прямі 3870 перпендикулярні, то і тангенс кутає нескінченно великою величиною. Тому умова перпендикулярності цих прямих має вигляд:

733873\* MERGEFORMAT (.)

7439Equation Section (Next)§ 39. Пряма на координатній площині. Приклади розв’язування задач

Задача 39.1. Визначити, які з точок талежать на прямій, а які не лежать на ній.

Розв’язання.

Точка лежить на прямій тоді і тільки тоді, коли її координати задовольняють рівняння прямої. Підставимо координати в рівняння прямої. Одержимо, значить ця точка лежить на прямій.

Тепер підставимо координати :, значитьпрямій не належить.

Задача 39.2. Визначити точки перетину прямої з координатними осями та накреслити цю пряму.

Розв’язання.

На осі , тому, значить точкою перетину з віссює.

На осі , тому, значить точкою перетину зє.

Для побудови прямої зобразимо ці точки на координатній площині та проведемо через них пряму (Рис. 39.1).

Рис.39.1

Задача 39.3. Знайти точку перетину двох прямих та.

Розв’язання.

Координати точки перетину двох прямих повинні задовольняти двом рівнянням прямих одночасно, тому для знаходження точки перетину розв’яжемо систему .

Маємо

.

Значить, , тобто точка перетину.

Задача 39.4. Дано вектор . Записати загальне, канонічне, параметричне та з кутовим коефіцієнтом рівняння прямої, що проходить через точкупаралельно.

Розв’язання.

Згідно 3760 канонічне рівняння має вигляд:

,

параметричне з 3761

Загальне рівняння отримаємо з канонічного. За властивістю пропорції

, тобто .

Останнє рівняння виду 3866 є загальним рівнянням даної прямої.

Щоб отримати рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом 3764, достатньо з загального виразити :

.

Задача 39.5. Дана пряма l: . Скласти рівняння прямої, що проходить через точку

1) перпендикулярно до даної прямої;

2) паралельно даній прямій.

Розв’язання.

1) Позначимо шукану пряму l₁. Нормальний вектор до заданої прямої l можна знайти з її рівняння. Це вектор . Для шуканої прямоїl₁ цей вектор є напрямним, тому для того, щоб записати її рівняння можна використати канонічне рівняння прямої 3760:

.

2 спосіб: Кутовий коефіцієнт прямої l , тоді з умови перпендикулярності прямих 3873 .

Використавши рівняння пучка прямих 3763, отримаємо:

, або .

2) Позначимо шукану пряму l₂. Нормальний вектор заданої прямоїl є нормальним і для шуканої прямої l₂. Тому, щоб записати рівняння цієї прямої, ми можемо скористатися формулою 3657:

, або .

2 спосіб: Кутовий коефіцієнт прямої l , тоді з умови паралельності прямих 3872 .Використавши рівняння пучка прямих 3763, отримаємо: , або.

Задача 39.6. Дано вершини трикутника . Скласти рівняння:

1) висоти ;

2) сторони ;

3) медіани ;

4) перпендикуляра опущеного з вершинина медіану.

Розв’язання.

Зробимо креслення.

Рис. 39.2

1) Нормальним вектором для висоти (Рис. 39.2) є вектор. Так як прямапроходить через точку, одержимо рівняння цієї прямої:, або.

2) Напрямним вектором для сторони є вектор. Тоді канонічне рівняння цієї прямої набуде вигляду

.

3. Знайдемо координати точки , використовуючи формулу для знаходження координат середини відрізку. Маємо

, тобто .

3. Напрямний вектор медіани – це вектор . Тоді канонічне рівняння медіани:.

4. Вектор є нормальним для, тому рівняння цього перпендикуляра може бути записано у вигляді

, або.

Задача 39.7. Знайти проекцію точки на пряму:.

Розв’язання.

Накреслимо рисунок.

Рис. 39.3

Спочатку складемо рівняння прямої , яка проходить через точкуперпендикулярно даній прямій (Рис.39.3). Нормальним вектором для даної прямої є вектор, і цей вектор є напрямним для прямої. Тому канонічне рівняння прямої:

.

В результаті перетворень це рівняння набуде вигляду.

Шукана точка М є точкою перетину та, тому її координати знайдемо, розв’язавши систему:

.

Маємо

.

Отже, координати точки .

Задача 39.8. Дано рівняння двох сторін прямокутника ,та рівняння його діагоналі. Скласти рівняння інших двох сторін цього прямокутника.

Розв’язання. Відразу помітимо, що дві задані прямі паралельні, оскільки мають однакові нормальні вектори, тому представляють протилежні сторони прямокутника, наприклад і.

Точка є точкою перетинуі діагоналі, тому знайдемо її координати, розв’язавши систему рівнянь.

, тобто .

Аналогічно знайдемо точку , як точку перетинута діагоналі.

, тобто .

Нормальним вектором для іє вектор. Цей вектор є напрямним дляі. Тому рівняння цих сторін такі:

;

Задача 39.9. Знайти кут між прямими та.

Розв’язання.

Нормальні вектори цих прямих мають координати івідповідно. Кут між прямими дорівнює куту між нормальними векторами, а косинус кута між векторами може бути знайдений за формулою 3869, тобто

.

Отже, кут між прямими .

Задача 39.10. Визначити, при якому значенні дві прямі,паралельні та перпендикулярні.

Розв’язання.

Нормальні вектори для цих прямих мають координати івідповідно.

Дві прямі перпендикулярні, коли їх нормальні вектори ортогональні , тобто скалярний добуток цих векторів має дорівнювати нулю. Обчислимо скалярний добуток:

.

З цього рівняння .

Дві прямі паралельні, коли їх нормальні вектори колінеарні. Умовою колінеарності векторів є пропорційність їх координат. Запишемо цю умову для наших нормальних векторів:

, значить .

Задача 39.11. Знайти відстань між двома паралельними прямими та.

Розв’язання.

Зобразимо рисунок.

Рис. 39.4

Знайдемо одну точку на прямій . Для цього в її рівняння підставимо, наприклад,. Одержимо, тобто точка на прямій. Перетворимо рівняння другої прямої, перенісши всі доданки в ліву частину рівності:

.

Відстань між двома прямими – це відстань від точки до прямої. (Рис. 39.4). Відстань від точкидо прямоїобчислюється за формулою 3867.

В нашому випадку

.