Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет Одесская морская академия (бывш. ОНМА)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Елементи аналітичної геометріїi.docx

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2016

Размер:

8.44 Mб

Скачать

☆

1 / 141 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Розділ II. Елементи аналітичної геометрії

Аналітична геометрія – це розділ математики, який вивчає геометричні об’єкти (поверхні, лінії, фігури) за допомогою методів алгебри, базуючись на методі координат. Метод координат дозволяє кожній точці поверхні або лінії поставити у відповідність сукупність чисел – координати. Кожна поверхня або лінія вважаються геометричним місцем точок, зв’язаних певними умовами і спільними властивостями. Згідно методу координат ці умови і властивості записуються у вигляді рівнянь або їх систем, які зв’язують між собою координати точок лінії або поверхні. Завдання поверхонь і ліній рівняннями відносно координат точок, що до них належать, дозволяє застосувати для їх дослідження методи алгебри, диференціального числення і апарат векторної алгебри.

126Equation Section 26§26. Поняття рівняння поверхні і лінії у просторі. Рівняння сферичної поверхні.

Розглянемо довільне рівняння, що зв’язує між собою три змінних :

2262\* MERGEFORMAT (.)

Припустимо, що це рівняння має непорожню множину розв’язків і - один із них. Впорядкована трійка чиселу прямокутній системі координатвизначає точку. Сукупності всіх розв’язків рівняння 262 у цій системі координат відповідає геометричне місце точок, яке називаєтьсяповерхнею (Рис. 26.1).

Рис. 26.1

Рівняння 262 називається рівнянням поверхні у заданій системі координат , якщо це рівняння задовольняють координати кожної точкиданої поверхні і не задовольняють координати жодної точки, що лежить поза поверхнею.

Стосовно поверхонь аналітична геометрія має розв’язувати наступні задачі: 1) якщо поверхня задана як геометричне місце точок, то необхідно скласти її рівняння у даній системі координат; 2) по заданому рівнянню 262 повинні у обраній системі координат встановити, яку поверхню воно визначає і дослідити її геометричні властивості.

Як приклад розглянемо виведення рівняння сферичної поверхні або сфери.

Сферою (сферичною поверхнею) називається множина всіх точок простору, що знаходяться на однаковій відстані від заданої точки, яка називається центром. Відрізок, що з’єднує довільну точку сфери з центром називається радіусом і має бути заданим.

Нехай у обраній системі координат центром сфери є точка, а її радіус має довжину(Рис 26.2).

Рис. 26.2

Розглянемо - довільну точку простору. Ця точка належить сфері тоді і тільки тоді, коли відстань від центра до неї дорівнює радіусу:. Але

Отже, можна записати рівність

яка після піднесення обох частин до квадрату набуває вигляду:

3263\* MERGEFORMAT (.)

Якщо центр сфери збігається з початком координат, то рівняння 263 набуває вигляду:

Можна бачити, що рівняння 263 є рівнянням другого порядку відносно . Тому кажуть, що сфера є алгебраїчною поверхнею другого порядку.

Лінія у тривимірному просторі може бути утворена в результаті перетину двох поверхоньі:(Рис. 26.3).

Нехай ці поверхні визначаються рівняннями:

, .

Тоді координати будь-якої точки задовольнятимуть як перше так і друге рівняння, тобто будуть розв’язками системи

. 4264\* MERGEFORMAT (.)

Систему рівнянь 264 називають загальним рівнянням лінії у просторі.

Рис.26 3

Також лінією у просторі можна вважати геометричне місце точок , кожна координата яких залежить від деякої іншої змінної, яка називається параметром:

5265\* MERGEFORMAT (.)

Рівняння 265 називають параметричним рівнянням лінії у просторі. Якщо розглянути ‑ радіус-вектор довільної точки, яка належить лінії і ввести до розгляду вектор, то 265 можна записати у векторному вигляді:

6266\* MERGEFORMAT (.)

Рівняння 266 є векторне параметричне рівняння лінії.

Якщо параметру у 265 і 266 надати сенс часу, то лінія, що ними визначається, це траєкторія, по якій рухається матеріальна точка.

727Equation Section (Next)§27. Загальне рівняння площини і його дослідження.

Найбільш простою за властивостями поверхнею є площина. Площина як геометричне місце точок простору може бути визначена за допомогою ненульового вектора , до якого вона перпендикулярна, і точки, через яку вона проходить. Оберемо у просторі систему координаті розглянемо площину, що проходить через точкуперпендикулярно до вектора(Рис.27.1).

Рис. 27.1

Візьмемо ‑ довільну точку площини і розглянемо вектори,. Вектордля кожної точки, що належить площині, перпендикулярний до вектора. Згідно умові перпендикулярності:

або8278\* MERGEFORMAT (.)

Рівняння 278 є рівнянням площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора.

Останню рівність можна записати наступним чином:

, 9279\* MERGEFORMAT (.)

де .

Можна довести, що будь-яке рівняння 279 першого степеня відносно визначає у системіплощину, перпендикулярну до вектора. Тому рівняння 279 називаєтьсязагальним рівнянням площини. Вектор називаєтьсянормальним вектором площини.

Оскільки рівняння 279 містить лише перші степені , то площина є алгебраїчною поверхнею першого степеня.

Здійснимо дослідження загального рівняння площини 279. Це дослідження буде полягати у з’ясуванні розташування площини відносно координатних осей при деяких частинних випадках рівняння 279.

Нехай у рівнянні 279 :

102710\* MERGEFORMAT (.)

Можна бачити, що є розв’язком цього рівняння, значить точканалежить площині. Тобто у разі відсутності у загальному рівнянні вільного члена площина проходить через початок координат.

При рівняння 279 набуває вигляду

112711\* MERGEFORMAT (.)

і визначає площину, що перпендикулярна вектору , який є перпендикулярним до осі. Отже площина, що визначається рівнянням 2711 паралельна осі. Аналогічно встановлюється, що площини, задані рівняннями

‑ паралельні осі; 122712\* MERGEFORMAT (.)

‑ паралельні осі .

Якщо , а, то рівняння 279 набуває вигляду:

або132713\* MERGEFORMAT (.)

Нормальний вектор цієї площини перпендикулярний до осейі, тобто перпендикулярний до площини. Тому площина, що визначається рівнянням 2713, є паралельною до координатної площини. Коли при цьому і, то 2713 має вигляді визначає саму площину.

Відповідно:

‑ рівняння площини, паралельної до,‑ рівняння самої площини.

1428Equation Section (Next)§28. Рівняння площини у відрізках на координатних осях. Рівняння площини, що проходить через три задані точки. Обчислення відстані від точки до площини

Розглянемо площину, яка у системі координат задана загальним рівнянням 279, у якому. Тоді в результаті ділення обох частин 279 на коефіцієнтце рівняння можна переписати у вигляді

, 152815\* MERGEFORMAT (.)

де

Можна бачити, що точки задовольняють рівняння 2815, тобто належать площині і є точками перетину цієї площини з осями координат (Рис.28.1).

Рис. 28.1

Таким чином, якщо відомі точки перетину площини з осями координат, то її рівняння може бути записаним у вигляді 2815. Оскільки числа з точністю до знаку співпадають з довжинами відрізків, які площини відтинає на координатних осях:, то рівняння 2815 ще називаютьсярівнянням площини у відрізках на координатних осях.

Розглянемо тепер три довільні точки , які не знаходяться на одній прямій. Як відомо, тоді існує єдина площина, що проходить через ці точки. Знайдемо її рівняння.

Для цього візьмемо на площині довільну точку і розглянемо вектори(Рис.28.2):

Рис. 28.2

Тепер, якщо взяти вектори то вони знаходяться у одній площині і є компланарними. Тоді їх мішаний добуток має дорівнювати нулю:

162816\* MERGEFORMAT (.)

Рівняння 2816 містить - радіус-вектор довільної площини і є векторною формою рівняння площини, що проходить через три задані точки. Координатну форму рівняння 2816 отримаємо, коли скористаємося формулою для мішаного добутку:

172817\* MERGEFORMAT (.)

Після обчислення визначника 2817 перетвориться у лінійне рівняння відносно , яке і є загальним рівнянням площини, що проходить через три задані точки.

Розв'яжемо методами аналітичної геометрії задачу, яка має важливе значення для теорії навігації і картографії. А саме, визначення відстані від заданої точки до заданої площини. Нехай у системі координат задано точкуі площину, яка визначається рівнянням 279. Проведемо з точки на площину перпендикуляр, який перетне її у точці(Рис.28.3). Тоді довжина цього перпендикуляраі є відстань від точки до площини. Розглянемо векториі- одиничний вектор, нормальний до площини.

Рис. 28.3

Оскільки ці вектори колінеарні і а, тоЗнак залежить від розміщення точкивідносно площини. Позначимо,. Тоді з векторного трикутника(Рис.28.3) маємо:

182818\* MERGEFORMAT (.)

Але точка належить площині і її радіус-вектормає задовольняти векторне рівняння 279. В результаті підстановки 2818 у 279 знаходимо

Оскільки , то.

Абсолютні величини лівої та правої частин останньої рівності мають співпадати.

Остаточно знаходимо формулу для відстані:

192819\* MERGEFORMAT (.)

2029Equation Section (Next)§29. Кут між двома площинами. Умови паралельності і перпендикулярності площин

Нехай є дві площини і, які в системі координатзадаються рівняннями:; :.

Якщо ці площини паралельні, то їх нормальні вектори колінеарні. Тому умовою паралельності двох площин є умова колінеарності цих векторів:

212921\* MERGEFORMAT (.)

Коли площини не паралельні, то вони утворюють двогранний кут, що вимірюється гострим лінійним кутом або тупим(Рис.29.1). Один з лінійних кутів гострий або тупий співпадає з кутомміж нормальними векторами площин.

Рис.29.1

За формулою для визначення кута між векторами маємо:

222922\* MERGEFORMAT (.)

Якщо результат, отриманий за формулою 2922, додатній, то , а якщо від'ємний, то.

Умовою перпендикулярності двох площин є умова перпендикулярності їх нормальних векторів:

232923\* MERGEFORMAT (.)

2430Equation Section (Next)§30. Розв'язання задач на складання рівнянь площини та взаємне розміщення площин у просторі

Задача 30.1. Скласти рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно до вектора.

Розв’язання.

Рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно до заданого вектора має вигляд 278. У нашому випадку рівняння набуває вигляду:

або -загальне рівняння площини.

Задача 30.2. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку паралельно двом векторамта.

Розв’язання.

Оскільки вектори не колінеарні, зобразимо їх з початком у одній точці і розглянемо площину, яка їм паралельна (Рис.30.1).

Рис.30.1

Відомо, що векторний добуток двох векторів перпендикулярний до обох векторів-співмножників, тому за нормальний вектор площини можна взяти векторний добуток , а саме

Тепер рівняння площини набуде вигляду

Задача 30.3. Дано точки перетину площини з координатними осями: ,,. Скласти її рівняння.

Розв’язання.

З умови задачі відомо, що задана площина відтинає на координатних осях відрізки,відповідно. Отже, згідно 2815, шукане рівняння площини набуде вигляду:

, або

Задача 30.4. Скласти рівняння площини, що проходить через три точки ,та. Знайти довжини відрізків, які відтинає утворена площина на координатних осях.

Розв’язання.

Для складання рівняння площини використаємо формулу 2817. Отримаємо:

Отриманий визначник розкладемо за елементами 1 рядка:

Після приведення подібних членів запишемо загальне рівняння площини:

або .

Знайдемо відрізки, які відтинає утворена площина на координатних осях. Для цього приведемо отримане рівняння до вигляду рівняння у відрізках 2815:

; .

Отже, - довжини відрізків, що відтинаються площиною на координатних осяхвідповідно.

Задача 30.5. Скласти рівняння площини, що проходить через дві точки ,перпендикулярно до площини:.

Розв’язання.

Зобразимо задану площину та перпендикулярну до неї площину , яка проходить через задані точки (Рис.30.2).

Рис.30.2

З рисунку зрозуміло, що нормальний вектор шуканої площини перпендикулярний як вектору , так і нормальному векторузаданої площини, тому його можна обчислити як векторний добуток цих векторів.

Знайдемо . Далі

Шукана площина проходить через точку і- її нормальний вектор. Запишемо рівняння цієї площини:

Задача 30.6. Скласти рівняння площини, що проходить через точки та паралельно осі.

Розв’язання.

Оскільки шукана площина проходить паралельно осі , то її нормальним вектором може бути векторний добуток неколінеарних векторівта:

Тепер згідно 278 запишемо рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору:

Задача 30.7. Скласти рівняння площини, що проходить через точку паралельно площині.

Розв’язання.

1 спосіб. Оскільки за умовою задачі шукана площина паралельна до площини , то вона перпендикулярна до осі. А значить, вектор з координатамибуде нормальним для шуканої площини. Тоді рівняння цієї площини має вигляд: