Питання для повторення

1. Еліпс. Означення, канонічне рівняння та дослідження форми.

2. Гіпербола. Означення, канонічне рівняння та дослідження форми.

3. Парабола. Означення, канонічне рівняння та дослідження форми.

9744Equation Section (Next)§ 44. Загальне рівняння кривої другого порядку

Рівняння

, 984498\* MERGEFORMAT (.)

де є загальним рівнянням кривої другого порядку на координатній площині.

Очевидно, що отримані канонічні рівняння еліпса, гіперболи і параболи 4078, 4187, 4295 є частинними випадками рівняння 4498. Але виникає питання, чи визначає це рівняння ще якісь лінії на координатній площині. Відповідь на нього дає наступна теорема.

Теорема. Для кожного рівняння 4498 існує система координат , в який воно набуває наступного вигляду:

1) ‑ коло;

2) ‑ еліпс;

3) ‑ порожня множина точок (уявний еліпс);

4) ‑ точка;

5) ‑ гіпербола;

6) ‑дві прямі що перетинаються;

7) ,‑парабола;

8) або‑ дві паралельні прямі;

9) або‑ порожня множина точок;

10) або‑ вісьабо.

Рівняння п.п.1-10 називаються канонічними виглядами рівняння 4498. Способи побудови системи координат , в який рівняння 4498 набуває канонічного вигляду, покажемо на наступнихприкладах.

Привести до канонічного вигляду рівняння кривої другого порядку:

1. 

Згрупуємо члени з та з та виділимо повні квадрати:

Застосуємо формули паралельного переносу:

, 994499\* MERGEFORMAT (.)

де -центр нової системи координат.

У нашому впадку , тому 4499 набудуть вигляду:

Підставимо в отримане рівняння, тоді в системіотримаємо коло з радіусом:

2. 

Якщо в 4498 , то спершу слід застосувати формули повороту координатних осей

10044100\* MERGEFORMAT (.)

щоб при належному виборі кута звільнитися від члена з добутком координат.

Підставляючи тав задане рівняння, отримаємо:

Далі розкриємо дужки та приведемо подібні доданки:

10144101\* MERGEFORMAT (.)

Виберемо кут повороту так, щоб коефіцієт прив обернувся в нуль:

Обидві частини рівняння поділимо на . Слід зазначити, що, оскільки якщо це не так, то з рівняння випливає, що і. А це суперечить основній тригонометричній тотожності.

Після ділення отримаємо:

тобто .

Домовимось завжди брати для з двох можливих значень додатне, а кут поворотув першій чверті. Таким чином, з двох можливих значень обираємо.

Оскільки , а кут повороту знаходиться в першій чверті, то за відомим значеннямфункціїтаможуть бути визначено наступним чином:

. 10244102\* MERGEFORMAT (.)

В нашому випадку: .

При цих значеннях рівняння 44101 набуває вигляду:

.

Згрупувавши члени з таі виділивши повні квадрати, маємо:

.

.

Виконавши паралельне перенесення системи координат в т.за формулами 4499, отримаємо:

.

Останнє рівняння є рівнянням еліпса (Рис. 44.1).

Рис. 44.1

3. 

Виділимо відносно повний квадрат:

або в центрі ‑ уявний еліпс.

4. 

Здійснивши аналогічні попереднім перетворення, отримаємо

‑точка в системі

‑точка в системі.

5. .

Так як , то спершу застосуємо формули повороту координатних осей 44100, щоб при належному виборі кутазвільнитися від члена з добутком координат.

Після підстановки тав задане рівняння, отримаємо:

Далі розкриємо дужки та приведемо подібні доданки:

10344103\* MERGEFORMAT (.)

Виберемо кут повороту так, щоб коефіцієт прив обернувся в нуль:

Обидві частини рівняння поділимо на ,. Після ділення отримаємо:

тобто .

Домовимось завжди брати для з двох можливих значень додатне, а кут поворотув першій чверті. Таким чином, з двох можливих значень обираємо.

Оскільки , а кут повороту знаходиться в першій чверті, то за формулами 44102

.

При цих значеннях рівняння 44103 набуває вигляду:

.

Згрупувавши члени з таі виділивши повні квадрати, маємо:

.

. 10444104\* MERGEFORMAT (.)

Виконавши паралельне перенесення системи координат в т.за формулами 4499, отримаємо:

,

отже, рівняння 44104 набуде вигляду:

.

Отримане рівняння є канонічним рівнянням гіперболи (Рис. 44.2).

Рис. 44.2

6. 

Згрупуємо доданки відносно таі виділимо повні квадрати:

Центр нової системи координат перенесемо в точку. В новій системі координатмаємо рівняння

_,

_{що визначає дві} прямі

7. 

Застосуємо формули повороту координатних осей 44100, щоб при належному виборі кута звільнитися від члена з добутком координат та підставимотав задане рівняння:

або

Прирівнюючи до нуля коефіцієнт при добутку отримаємо:

,

звідки

,

тобто

.

Візьмемо , звідки. Тоді

.

При цих значеннях рівняння набуває вигляду:

.

Згрупувавши члени з таі виділивши повні квадрати, маємо:

;

Виконавши паралельне перенесення системи координат в т.за формулами 4499, маємо:

Відносно нової системи з центром в точці отримали канонічне рівняння параболи, симетричної відносно осі(Рис. 44.3):

.

Рис. 44.3

8. .

Виділимо повний квадрат:

або , тобто.

В результаті отримали дві паралельні прямі: та.

9. .

Виділяючи повний квадрат, одержимо . Ца рівняння не має дійсних розв’язків, тому визначає порожню множину точок.

10. , звідки . Це рівняння визначає вісь.