Задачі для самостійної роботи

Привести до канонічного вигляду рівняння кривих другого порядку:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. .

10545Equation Section (Next)§ 45. Циліндричні поверхні. Рівняння еліптичного або кругового циліндру

Нехай у просторі є деяка плоска лінія і заданий ненульовий вектор.

Поверхня, утворена прямими, що проходять через кожну точку лінії паралельно до заданого вектора, називаєтьсяциліндричною поверхнею (Рис. 45.1).

Прямі, що утворюють циліндричну поверхню, називаються твірними, а лінія називаєтьсянапрямною.

Складемо рівняння циліндричної поверхні за умов, що напрямною є крива, що міститься у площині , а вектор- орту осі.

Тоді напрямна задається рівнянням

10645106\* MERGEFORMAT (.)

а твірні паралельні осі (Рис. 45.2).

Рис. 45.1	Рис. 45.2

Візьмемо - довільну точку циліндричної поверхні. Проведемо через цю точку твірну до перетину з напрямною у точці. Оскільки ця точка належить до напрямної, то її координати мають задовольняти рівняння 45106. Отже, для будь якої точки на циліндрі координатизадовольняють першому рівнянню системи 45106, а третя координатаможе бути довільною:

10745107\* MERGEFORMAT (.)

Рівняння 45107 і є рівнянням циліндричної поверхні, що зображена на Рис. 45.2.

Якщо у якості напрямної взяти еліпс, то з 45107 отримаємо рівняння еліптичного циліндра:

10845108\* MERGEFORMAT (.)

Якщо , то еліпс є колом і з 45108 знаходимо рівняння кругового циліндра:

10945109\* MERGEFORMAT (.)

11046Equation Section (Next)§ 46. Конічні поверхні. Рівняння кругового конуса

Нехай задана плоска лінія і точка, що не знаходиться з цією лінією у одній площині. Поверхня, яка утворюється прямими, що проходять через кожну точку заданої лініїі задану точку, називаєтьсяконічною поверхнею, або конусом (Рис. 46.1). Лінія - називається напрямною конуса, точка- вершиною конуса, а лінії, що проходять через точку напрямної і вершину, називаються твірними.

Рис. 46.1

Візьмемо у якості напрямної коло радіуса , що знаходиться у площиніз центром в точціна осі (Рис.46.2).

Рис. 46.2

Таке коло у системі визначається системою рівнянь

11146111\* MERGEFORMAT (.)

Припускаємо, що точка - вершина конуса. Нехай- довільна точка на конусі. Проведемо твірну, яка перетне коло 46111, що є напрямним, у точці. Оскільки точканалежить до кола, то її координати задовольняють 46111, зокрема виконується рівність:

11246112\* MERGEFORMAT (.)

Вектори і- колінеарні, тому

З останньої рівності знаходимо і підставляємо у 46112:

або

11346113\* MERGEFORMAT (.)

Останнє рівняння і визначає розглянутий конус.

11447Equation Section (Next)§ 47. Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку

Поверхнею обертання називається поверхня, утворена обертанням плоскої лінії навколо прямої, що знаходиться у тій же самій площині. Пряма, навколо якої відбувається обертання, називається віссю обертання.

Рис. 47.1

Розглянемо криву , яка в системі координатзнаходиться у площиніі задається рівнянням

11547115\* MERGEFORMAT (.)

Знайдемо рівняння поверхні, що утворюється обертанням цієї кривої навколо осі (Рис.47.1). Розглянемо довільну точку поверхні. Через цю точку проведемо площину, перпендикулярну до осі. Нехай- точка перетину цієї площини з віссю, а- точка перетину з кривою. Тоді, а. Але , як радіуси одного кола. Отже, координати точкидорівнюютьі оскільки точканалежить кривій, то мають задовольняти рівняння 47115:

11647116\* MERGEFORMAT (.)

_{Таким чином, 47116} є рівнянням розглянутої поверхні обертання. Аналогічно отримується рівняння поверхні, що утворюється обертанням кривої 47115 навколо осі

11747117\* MERGEFORMAT (.)

Коли лінія знаходиться у площині і її рівняння

то рівняння поверхні, утвореної обертанням цієї лінії навколо осі має вигляд:

11847118\* MERGEFORMAT (.)

Розглянемо поверхні, що утворюються при обертанні кривих другого порядку, заданих канонічними рівняннями.

1. Еліпсоїд обертання.

Нехай еліпс, що знаходиться у площині , задається рівнянням

і обертається навколо осі (Рис. 47.2)

Рис. 47.2

Утворена при цьому поверхня називається еліпсоїдом обертання і має рівняння (див.47116)

11947119\* MERGEFORMAT (.)

2. Однопорожнинний гіперболоїд обертання

Візьмемо у площині гіперболу

і здійснимо її обертання навколо осі (Рис. 47.3)

Рис. 47.3

Утворена при цьому поверхня називається однопорожнинним гіперболоїдом обертання і має рівняння

12047120\* MERGEFORMAT (.)

3. Двопорожнинний гіперболоїд обертання

Якщо цю саму гіперболу обертати навколо осі , то отримаємо поверхню, яка називаєтьсядвопорожнинним гіперболоїдом обертання (Рис. 47.4) і згідно з 47117 визначається рівнянням

або 12147121\* MERGEFORMAT (.)

Рис. 47.4

4. Параболоїд обертання.

Нехай парабола

Рис. 47.5

обертається навколо осі (Рис. 47.5). Утворена поверхня називаєтьсяпараболоїдом обертання і визначається рівнянням

12247122\* MERGEFORMAT (.)