Задачі для самостійної роботи

1. Записати параметричне рівняння прямої, що проходить через точку паралельно вектору.

2. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку паралельно прямій.

3. Перевірити, чи лежать на одній прямій точки ,,.

4. Знайти кут між прямими та.

5. Скласти канонічні та параметричні рівняння прямих:

а)б)

6. Показати, що прямі таперпендикулярні.

7. Знайти відстань між паралельними прямими та

8. При якому значенні прямаперетинає вісь?

Питання для повторення

1. Різні вигляди рівняння прямої у просторі.

2. Відстань від точки до прямої

3. Взаємне розміщення прямих .Кут між прямими.

4334Equation Section (Next)§34. Взаємне розміщення прямої і площини

Розглянемо деяку площинуі пряму, які у системі координатзадаються рівняннями

.

Пряма може бути паралельною до площини, належати до неї або перетинати.

Якщо пряма паралельна до площини, то вектори іперпендикулярні (Рис.34.1)

Рис.34.1

Тоді наступна умова є умовою паралельності прямої до площини

443444\* MERGEFORMAT (.)

Коли пряма належить площині, то точка є точкою площини і має задовольняти її рівняння:

453445\* MERGEFORMAT (.)

Тому умовою належності прямої до площини є одночасне виконання рівностей 3444 і 3445.

Коли умова 3444 порушується, то пряма перетинає площину під деяким кутом. Нехай - гострий кут нахилу прямої до площини (Рис.34.2)

Рис.34.2

Тоді кут між векторамиідорівнюєабо. Тоді

,

або

463446\* MERGEFORMAT (.)

.

Знак у формулі 3446 обирається так, щоб отримати додатне значення .

4735Equation Section (Next)§35. Задачі на взаємне розміщення прямої та площини

Задача 35.1. Скласти рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно прямій.

Розв’язання.

З умови перпендикулярності прямої і площини випливає, що за нормальний вектор площини можна взяти напрямний вектор прямої: .

Тоді рівняння площини має вигляд:

, або .

Задача 35.2. Знайти кут між прямою та площиною.

Розв’язання.

З даних рівнянь ,. Згідно формули 3446 маємо:

.

Задача 35.3. Знайти точку перетину прямої та площини.

Розв’язання.

Подамо рівняння прямої в параметричному вигляді:

Підставимо одержані вирази в рівняння площини, щоб знайти значення параметра , яке відповідає точці перетину прямої та площини.

Тепер знайдемо координати точки перетину М:

Отже, точка перетину .

Задача 35.4. Показати, що пряма паралельна площині, а прямалежить в цій площині.

Розв’язання.

Підставимо прямоїв рівняння площини:

,

тобто

;,

і точок перетину пряма та площина не мають.

Отже, пряма паралельна площині.

Здійснивши аналогічні перетворення з , отримаємо

,

що виконується для будь-якого параметра , отже,належить площині.

Задача 35.5. При якому прямапаралельна площині?

Розв’язання.

Нормальний вектор площини має координати . Щоб знайти напрямний вектор заданої прямої, обчислимо векторний добуток векторівта, нормальних для двох площин, рівняння яких містяться у системі.

Згідно умові паралельності прямої і площини 3444 знайдемо скалярний добуток:

.

З одержаного рівняння знайдемо С.

.

Задача 35.6. Скласти рівняння площини яка проходить через точку паралельно прямим.

Розв’язання.

Оскільки дві прямі паралельні шуканій площині, то нормальним до площини є вектор

.

Знаючи координати нормального вектора та точки площини, складемо рівняння площини:

, тобто .

Задача 35.7. Знайти точку , симетричну точцівідносно площини:.

Розв’язання.

Зобразимо рисунок.

Рис.35.1

Спочатку складемо рівняння прямої , яка проходить перпендикулярно заданій площині через точку (Рис.35.1). Нормальний вектор площини буде одночасно напрямним вектором прямої, тому її рівнянням є

.

Тепер знайдемо точку – проекцію точкина площину. Це точка перетину прямої та площини. Запишемо параметричне рівняння прямої.

Підставимо одержані вирази в рівняння площини, щоб знайти значення параметра , яке відповідає точці перетину прямої та площини.

Знайдемо координати точки М.

.

Отже,

Для знаходження координат точки скористаємось формулами координат середини відрізку (точкаМ є серединою ).

, тоді .

Аналогічно

, тоді ;

, тоді .

Значить, симетрична точка має координати .