Задачі для самостійної роботи

1. Площина проходить через точку перпендикулярно вектору. Знайти відрізки, які вона відтинає на координатних осях.

2. Знайти рівняння площини, яка проходить через точку паралельно площині, що проходить через три точки,,.

3. Обчислити відстань від точки до площини.

4. При якому значенні площинитабудуть перпендикулярні?

5. Знайти косинус кута між площинами та.

6. Скласти рівняння площини, що проходить через точку паралельно площині.

7. Скласти рівняння площини, яка проходить через вісь та точку

8. Скласти рівняння площини, яка проходить через точки ,паралельно осі.

9. Записати рівняння площини, що проходить через точку і відтинає на координатних осях відрізки однакової довжини.

10. Довести, що площини тапаралельні та знайти відстань між ними.

11. Записати рівняння площини, що проходить через точки таперпендикулярно до площини.

Питання для повторення

1. Лінія у просторі, її векторне та параметричне рівняння. Сферична поверхня.

2. Дослідження загального рівняння площини.

3. Кут між площинами, умови паралельності та перпендикулярності.

2631Equation Section (Next)§31. Рівняння прямої у просторі

Будь-яка пряма у просторі може бути задана за допомогою точки ,через яку вона проходить, і ненульового вектора , до якого вона паралельна (Рис.31.1):

Рис.31.1

Нехай - довільна точка прямої. Розглянемо вектори,. Тоді векторДля будь якої точки, що належить прямій, векториіє колінеарними і за умов колінеарності виконується рівність:

273127\* MERGEFORMAT (.)

Рівняння 3127 називається канонічним рівнянням прямої у просторі. Вектор , до якого пряма паралельна, називається їїнапрямним вектором.

З іншого боку, з колінеарності векторів івипливає, що існує числотаке, що, або

283128\* MERGEFORMAT (.)

Рівняння 3128 називається векторним рівнянням прямої у просторі.

Якщо рівняння 3128 переписати покоординатно, то отримаємо рівності

293129\* MERGEFORMAT (.)

Рівняння 3129 - це параметричне рівняння прямої у просторі.

Будь-яка пряма однозначно визначається своїми двома точками. Нехай точки належать прямій. Візьмемо на цій прямій довільну точку. Тоді векториізавжди знаходяться на одній прямій, а значить є колінеарними. З умови колінеарності векторів маємо

303130\* MERGEFORMAT (.)

Таким чином, рівняння прямої, що проходить через дві задані точки має вигляд 3130.

Пряма, як і будь яка інша лінія у просторі, може бути задана загальним рівнянням вигляду 264. У цьому випадку її необхідно розглядати як результат перетину двох непаралельних площин. При завданні площин загальними рівняннями 279 загальне рівняння прямої, згідно (1.3) має набувати вигляду

313131\* MERGEFORMAT (.)

Рівняння 3131 визначає у просторі пряму за умови, що нормальні вектори площин не є колінеарними. Тоді один з визначників другого порядку, складених з координат цих векторів, відмінний від0 і ранг матриці системи 3131 та її розширеної матриці дорівнює 2. Отже, ця система завжди сумісна і має нескінченну кількість розв’язків. Нехай - один з них. Тоді точканалежить прямій, що визначається 3131. Оскільки векториіє перпендикулярними до прямої, що утворена перетином площин, то вектор, що дорівнює їх векторному добутку (Рис.31.2), знаходиться так:

Рис.31.2

Тепер можна записати канонічне рівняння прямої, заданої загальним рівнянням 3131:

.

3232Equation Section (Next)§32. Відстань від точки до прямої у просторі. Взаємне розміщення прямих. Обчислення кута між двома прямими

Нехай є пряма , що у системі координатзадається рівнянням

333233\* MERGEFORMAT (.)

і точка . Через пряму і точку поза нею можна провести єдину площину. Проведемо таку площину через пряму 3233 та точку(Рис.32.1). На площині проведемоТоді довжина перпендикуляра і є відстань від точки до прямої.

Рис.32.1

Для її знаходження на векторах ібудується паралелограм (Рис.32.1).

З одного боку його площа , з іншого -. Отже

і

343234\* MERGEFORMAT (.)

Розглянемо тепер дві прямі, які задані канонічними рівняннями

353235\* MERGEFORMAT (.)

Для взаємного розміщення прямих у просторі можливі такі варіанти:

1. прямі паралельні або співпадають;

2. прямі перетинаються;

3. прямі не паралельні і не співпадають (мимобіжні).

Якщо прямі паралельні,то їх напрямні вектори іколінеарні. Тому умовою паралельності прямих є умова колінеарності напрямних векторів:

363236\* MERGEFORMAT (.)

Якщо прямі співпадають, то вектор теж колінеарний до векторіві. Тому умовою співпадання прямих є одночасне виконання умови 3236 і наступної рівності:

373237\* MERGEFORMAT (.)

У випадку порушення умови 3236 прямі іабо перетинаються, або є мимобіжними. Якщо прямі перетинаються, то вони розміщуються у одній площині, тоді вектори- компланарні. Умовою компланарності векторів є рівність нулю їх змішаного добутку:

383238\* MERGEFORMAT (.)

При порушенні умов 3236 і 3238 прямі імимобіжні.

Нехай тепер прямі іперетинаються або мимобіжні. Тоді кут між їх напрямними векторамиспівпадає з гострим кутомабо тупимкутом, що утворюють ці прямі (Рис.32.2)

Рис.32.2

Кут між напрямними векторами знаходиться за формулою

393239\* MERGEFORMAT (.)

Якщо результат за формулою 3239 додатний, то , а якщо від'ємний, то. У випадку перпендикулярності прямих виконується рівність

403240\* MERGEFORMAT (.)

4133Equation Section (Next)§ 33. Задачі на пряму у просторі. Складання рівнянь, дослідження взаємного розміщення прямих у просторі

Задача 33.1. Скласти канонічне та параметричне рівння прямої, що проходить через точку паралельно вектору .

Розв’язання.

Вектор є напрямним для шуканої прямої. Якщо відомі точка на прямій та напрямний вектор прямої, то її канонічне рівняння має вигляд 3127:

.

Згідно 3129, параметричне рівняння цієї прямої запишеться так:

Задача 33.2. Скласти канонічне та параметричне рівняння прямої, що проходить через дві точки та.

Розв’язання.

Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки, задається 3130:

: , тобто.

Згідно 3129, параметричне рівняння прямої має вигляд:

Задача 33.3.. Скласти канонічне рівняння прямої , яка задана загальним рівнянням:

. 423342\* MERGEFORMAT (.)

Розв’язання.

Пряма, яка задана в умові цієї задачі, представляє собою лінію перетину двох площин та, рівняння яких записані у системі. Щоб скласти канонічне рівняння цієї прямої, необхідно знайти точку на прямій та її напрямний вектор (Рис.31.2).

Спочатку знайдемо точку на прямій. Для цього потрібно знайти будь-який розв’язок системи 3342.

Розв’яжемо цю систему:

Додавши рівняння системи, отримаємо

, або .

Додавши перше рівняння системи, помножене на (-3), до другого, знайдемо

, тобто .

Отже, система набуде вигляду:

.

Зафіксуємо вільну змінну: нехай , тоді. Отже, точкалежить на заданій прямій.

Тепер знайдемо напрямний вектор прямої:

Тоді канонічне рівняння прямої має вигляд:

, або .

Задача 33.4. Знайти гострий кут між прямими та.

Розв’язання.

Напрямні вектори прямих мають координати та. Один з кутів між прямими дорівнює куту між напрямними векторами 3239. Обчислимо косинус кута між векторами.

.

Оскільки , тоспівпадає з гострим кутом, утвореним прямими. Гострий кут між прямими.

Задача 33.5. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку та перетинає вісьпід прямим кутом.

Розв’язання.

Оскільки пряма перпендикулярна осі та перетинає її, то вона проходить через точку. Запишемо рівняння прямої, що проходить через точкита3130, в параметричному вигляді:

Задача 33.6. При якому прямітаперпендикулярні?

Розв’язання.

Знайдемо напрямний вектор прямої, що задана загальним рівнянням:

Використаємо умову перпендикулярності двох прямих 3240. Маємо:

, звідки .

Задача 33.7. Дано трикутник з вершинами .Скласти:

а) параметричне рівняння медіани що проведена з вершини ;

б) рівняння прямої , що проходить через точку паралельно .

Розв’язання.

а) Нехай - медіана. Тоді- середина відрізказ координатами, тобто. Знаючи координати двох точок прямої, згідно 3130, отримаємо рівняння медіани:

, або в параметричному вигляді .

б) Складемо рівняння прямої :

, або

Оскільки та паралельні, то . Тоді

.

Задача 33.8. Обчислити відстань від точки до прямої .

Розв’язання.

Точка, що належить прямій, має координати , тоді(Рис.32.1). Для знаходження шуканої відстані скористаємось формулою 3234. Для цього обчислимо площу паралелограма та довжину напрямного вектора:

,

. Згідно 3234, .