Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Одесская национальная академия пищевых технологий

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Метод - I семестр

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.02.2016

Размер:

677.53 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Міністерство освіти і науки України

Одеська національна академія харчових технологій

ВИЩА МАТЕМАТИКА

Матеріали до першого і другого модулів

Перший семестр

ОДЕСА

2006

Матеріали до першого та другого модуля

1 модуль – дві аудиторні контрольні роботи: векторна алгебра – 15 балів, аналітична геометрія – 30 балів, РГЗ – 1 – 15 балів. Письмова контрольна робота з теоретичних питань і практичних завдань – 90 балів. Загальна максимальна сума 150 балів.

2 модуль – три аудиторні контрольні роботи: границі – 15 балів, обчислення похідних функцій – 15 балів, дослідження функцій – 15 балів, РГЗ – 15 балів. Письмова контрольна робота з теоретичних питань і практичних завдань – 90 балів. Загальна максимальна сума 150 балів.

Аудиторні контрольні роботи зараховуються коли виконано 2/3 контрольних завдань, які були в карточці. Письмова контрольна робота з теоретичних питань і практичних завдань зараховується якщо виконано більше половини завдання.

Аудиторні контрольні роботи можуть бути переписані тільки один раз не пізніше чим через один тиждень в за урочний час. Під час написання аудиторних контрольних робіт користуватися підручниками, конспектами, зошитами з виконаними домашніми і аудиторними завданнями категорично забороняється. Порушники видаляються з аудиторії і переписати роботу мають право після отримання письмового дозволу деканату.

Письмова контрольна робота з теоретичних питань і практичних завдань проводиться в позаурочний час. Незадовільні оцінки і підвищення оцінки проводяться в позаурочний час не пізніше чим через два тижні.

Екзамени проводяться по матеріалах письмових контрольних робіт з теоретичних питань і практичних завдань (додаткові білети не готуються). Якщо студент не склав один модуль. То він його здає на екзамені. А якщо не здав два модулі, то він вправі вибрати любий із двох. Другий модуль він буде здавати як перездачу в сесію.

За спробу користуватися підручним матеріалом (конспекти, методички, підручники, шпаргалки) і розмови під час написання контрольної роботи з теоретичних питань і практичних завдань, екзамену студент видаляється з аудиторії без попередження. Студент, видалений з аудиторії, може перездати роботу тільки з дозволу декана факультету.

Повторні екзамени (перездачі) проводяться за розкладом складеним і затвердженим зав. кафедрою. Повторні екзамени (перездачі) проводять комісії, призначені деканами факультетів і викладачі кафедри. Перевіряють роботу лектори і асистенти, які проводять заняття, а підписують роботу всі члени комісії.

Після закінчення сесії лектор повинен здати на зберігання:

1)листки письмових контрольних робіт з теоретичних питань і практичних завдань, які зараховані;

2)аудиторні контрольні роботи, які зараховані;

3)РГЗ.

Заняття 1,2. Діагностична контрольна робота. Визначники та системи рівнянь.

Обчислити визначники та розв’язати рівняння.

1).	2).	3).	4).		5).	; 6).	;
7).	;	8).	;	9).		; 10).		;
11).	;	12).	= ;	13).	;	14).	; 15).	;
16).	; 17).	; 18).		; 18).		19).
20).	21).		22).			23).
24).		25).			26).		27).

28).

Векторна алгебра

Заняття 3. Лінійні операції над векторами.

29). Задані вектори a і b. Побудувати вектори: 1) a+b; 2) a – b; 3) b – a; 4) -a – b.

30). Задано |a|=13, |b|=19, |a+b|=24. Обчислити |a – b|.

31). Вектори взаємно перпендикулярні і |a|=5, |b|=12. Визначити |a+b|,|a−b|.

32). Вектори a і b утворюють кут =, |a|=3, |b|=5. Визначити |a−b|, |a+b|. 33). Задані вектори a і b. Побудувати: 1) 3a, 2) , 3) 2a+1/2 b, 4) ½ a – 3b.

Скалярний добуток та його використання.

34). Визначити точку N, з якою співпадає кінець вектора a=(3; -1; 4), якщо його початок співпадає з точкою М (1, 2, -3).

35). Визначити початок вектора а=(2; -3; -1), якщо його кінець співпадає з точкою Р (1; -1; 2).

36). Модуль вектора |а|=2, кути =45; β=60; γ=120. Обчислити проекції вектора а на координатні осі.

37). Обчислити напрямні косинуси вектора а = (12; -15; -16).

38). Задані два вектори а = (3; -2; 6); в = (-2;			1; 0). Визначити проекції на
координатні осі векторів	1) а+в; 2)	а – в;	3) 2а;	4)	-0,5	в;	5)	2а+3в;
6) 1/3 а – в.
39). Визначити, при яких	значеннях	,β вектори а		=	-2i	+	3j	+β k і

в = i – 6j + 2k колініарні.

40). Перевірити, що чотири точки А (3; -1; 2); В (1; 2; -1); С (-1; 1; -3); D (3; -5; 3) є вершинами трапеції.

41). Знайти орт вектора а = (6; -2; -3).

42). Вектори а і в утворюють кут φ = 2π : 3 і |а| = 3, |в| = 4. Обчислити 1) ав; 2) а2; 3) b2; 4) (а+ b)2; 5) (3а – 2b)(а+2b); 6) (а – b)2; 7) (3а+2b)2.

43). Задані вектори а = (4; -2; -4), в = (6; -3; 2). Обчислити 1) ав; 2)		;
3)	; 4) (2а – 3b)( 2а+3b); 5) (а+b)2; 6) (а – b)2.

44). Задані вершини чотирикутника А (1; -2; 2), В (1; 4; 0), С (-4; 1; 1), D (-5; -5; 3). Довести, що його діагоналі АС і ВD взаємно перпендикулярні. 45). Визначити, при яких значеннях вектори а = -2i + 3j +β k і в = i – 6j + 2k взаємно перпендикулярні.

46). Обчислити косинус кута утвореного векторами а = (2; -4; 4) і b = (-3; 2; 4).

47). Задані вершини трикутника А (-1; -2; 4), В (-4; -2; 0) і С (3; -2; 1). Обчислити внутрішній кут при вершині В та С.

48). Задані вершини трикутника А (1; 2; 1), В (3; -1; 7) і С (7; 4; -2). Пересвідчитись, що трикутник рівнобедрений.

Заняття 4. Векторний добуток та його застосування.

49). Вектори а і b утворюють кут φ = π : 6 |а|=6, |в|=5. Обчислити |[аb]|. 50). Задані |а| = 10, |в| і аb = 12. Обчислити |[аb]|.

51). Задані точки А (2; -1; 2), В (1; 2; -1), С (3; 2; 1). Знайти координати

векторних добутків 1) [ · ]; 2) [(−2 )].

52). Задані вектори а = (3; -1; -2) і в = (1; 2; -1). Знайти координати векторних добутків 1) [ав]; 2) [(2а+в)b]; 3) [(2а+в)(2а−в)].

53). Задані точки А (1; 2; 0), В (3; 0; -3), С (5; 2; 6). Знайти площу трикутника АВС.

54). Обчислити синус кута утвореного векторами а = (2; -2; 1) і b = (2; 3; 6).

Мішаний добуток трьох векторів.

55). Вектори а,в,с утворюють праву трійку, взаємно перпендикулярні. Відомо, що |а| = 4; |b| = 2; |с| = 3. Обчислити авс.

56). Вектор с перпендикулярний до векторів а і в, кут між а і в дорівнює 30. Відомо, що |а| = 6; |b| = 3; |с| = 3. Обчислити авс.

57). Вектор с перпендикулярний до векторів а і в, кут між а і в дорівнює 30. Відомо, що |а| = 6; |b| = 3; |с| = 3. Обчислити авс.

58). Задані вектори а = (1; -1; 3), b = (-2; 2; 1), с = (3; -2; 5). Обчислити авс.

59). Визначити, чи компланарні вектори а,в,с:

1)а = (2; 3; -1), b = (1; -1; 3), с = (1; 9; -11);

2)а = (3; -2; 1), b = (2; 1; 2), с = (3; -1; -2);

3)а = (2; -1; 2), b = (1; 2; -3), с = (3; -4; 7).

60). Довести, що точки А (1; 2; -1), В (0; 1; 5), С (-1; 2; 1), D (2; 1; 3) лежать в одній площині.

61). Обчислити об’єм тетраедра, вершини якого знаходяться в точках А (2; -1; 1), В (5; 5; 4), С (3; 2; -1), D (4; 1; 3).

Аналітична геометрія

Заняття 5. Пряма лінія на площині.

62). Знайти точки перетину прямої 2х – 3у – 12=0 з координатними осями і побудувати цю пряму.

63). Знайти точку перетину двох прямих 3х – 4у – 29=0 і 2х+5у+19=0.

64). Визначити кутовий коефіцієнт к і відрізок b, що відтинається на осі ОУ, для прямих:

1) 5х – у+3=0; 2) 2х+3у – 6=0; 3) 5х+3у+2=0; 4) 3х+2у=0; 5) у – 3=0.

65). Задана пряма 5х+3у – 3=0. Визначити кутовий коефіцієнт к прямої: 1) паралельної до заданої прямої; 2) перпендикулярної до заданої прямої. 66). Задана пряма 2х+3у +4=0. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку М (2; 1): 1)паралельно заданій прямій; 2) перпендикулярно заданій прямій.

67). Знайти проекцію точки Р (-6; 4) на пряму 4х – 5у+3=0.

68). Знайти точку Q симетричну до точки Р (-5; 13) відносно прямої

2х – 3у – 3=0.

69). Знайти кутовий коефіцієнт к прямої, яка проходить через дві задані точки:

1) М (2; -5), N (3; 2); 2) P (-3; 1), Q(7; 8); 3) A (5; -3), B (-1; 6).

70). Визначити кут φ між	двома прямими: 1) 5х – у+7=0, 3х+2у=0;
2) 3х – 2у – 3=0, 2х+3у+7=0;	3) х – 2у – 4=0, 2х – 4у+3=0; 4) 3х+2у – 1=0,
5х – 2у+3=0.

71). Записати рівняння прямої, що проходить через точку М (2; -3) паралельно до прямої:

1)3х – 7у+3=0; 2) х+9у – 11=0; 3) 16х – 24у – 7=0; 4) 2х+3=0;

5)3у – 1=0.

Заняття 6. Площина в просторі.

72). Точка Р (2; -1; -1) основою перпендикуляра, який проведений з початку координат на площину. Записати рівняння цієї площини.

73). Задані точки М (3; -1; 2) і Р (4; -2; 1). Записати рівняння площини, яка

проходить через точку М і перпендикулярна до вектора .

74). Записати рівняння площини, що проходить через точку М (3; 4; -5)

паралельно векторам а = (3; 1; -1), b = (1; -2; 1).

75). Записати рівняння площини, яка проходить через точки М (2; -1; 3) і Р (3; 1; 2) паралельно вектору а = (3; -1; 4).

76). Записати рівняння площини, яка проходить через точки А (3; -1; 2),

В (4; -1; -1), С (2; 0; 2).

77). Визначити координати якого-небудь нормального вектора для кожної із площин:

1) 2х – у – 2z+5=0; 2) x+5y – z=0; 3) 3x – 2y – 7=0; 4) 5y – 3z=0; 5) x+2=0; 6) y – 3=0.

79). Визначити, при яких значеннях l і m наступні пари рівнянь будуть визначати паралельні площини: 1) 2x+ly+3z – 5=0; mx – 6y – 6z+2=0; 2)3x – y+lz – 9=0; 2x+my+2z – 3=0.

80). Визначити, при яких значеннях l наступні пари рівнянь будуть визначати паралельні площини: 1) 3x – 5y+lz – 3=0; x+3y+2z+5=0; 2) 5x+y – 3z – 3=0; 2x+ly – 3z+1=0.

81). Записати рівняння площини, яка проходить через початок координат паралельно до площини 5х – 3у+2z – 3=0.

82). Записати рівняння площини, яка проходить через точку М (3; -2; -7) паралельно до площини 2х – 3z+5=0.

Заняття 7. Пряма лінія в просторі. Пряма і площина.

83). Записати рівняння прямої, яка проходить через точку М (2; -3; -6) та перпендикулярна до площини 6х – 3у – 5z +2=0.

84). Знайти проекцію точки Р (2; -1; 3) на пряму х = 3t; y = 5t – 7; z = 2t+2.

85). Скласти рівняння площини, яка проходить		через пряму x =	2t+1;
y = -3t+2; z = 2t+3 та точку М (2; -2; 1).
86). Записати канонічне рівняння	прямої, яка	проходить через	точку
М (2; 0; -3) паралельно вектору а = (2;	-3; 5).

87). Записати параметричне рівняння прямої, що проходить через точки А (3;

-1; 2) та В (2; 1; 1).

88). Записати канонічне рівняння прямої
89). Записати точку перетину прямої	=	= і площини	2x+3y+z

– 1=0.

90). Знайти координати точки Р симетричної до точки М (1; 3; -4) відносно площини 3x+y – 2z=0.

91). Скласти рівняння площини, яка проходить через пряму

паралельно до прямої

Вступ до математичного аналізу

Заняття 8. Обчислення границь виду і

92).	93).	94).
95).	96).	97).
98).	99).	100).
101).	102).	103).
104).	105).	106).
107).	108).	109).	110).
111).
	Заняття 9. Перша та друга чудові границі.
112).	113).	114).	115).
116).	117).	118).	119).
120).	121).	122).
123).	124).	125).
126).	127).	128).
129).	130).	131).

Диференціальне числення функції однієї змінної

Заняття 10. Похідні складених функцій.

132).	133).	134).	135).
136).	137).	138).	139).
140).	141).	142).
143).	144).	145).
146).	147).	arc	148).
149).	150).	151).

Заняття 11. Логарифмічне диференціювання.

152). 153). 154).

155). 156). 157).

158). 159).

Заняття 12. Похідні функції, які задано неявно та параметрично.

160).	161).	162).
163).	164).		165).
166).	167).		168).
169).
	Заняття 13. Правило Лопіталя.
170).	171).	172).	173).
174).	175).		176).
177).
	Заняття 14. Знайти інтервали монотонності функцій.
178).	179).		180).
181).

	Заняття 15. Знайти екстремуми функцій.
182).	183).	184).
185).

Заняття 16. Знайти інтервали опуклості вверх та вниз і точки перегину функцій.

186).			187).
188).		189).	190).
191).	192).	193).
	Заняття 17. Знайти асимптоти графіка функцій.
194).	195).		196).	197).
198).		200).	201).
	Заняття 18. Побудувати графіки функцій.
202).		203).	204).	205).
206).	207).	208).	209).

Диференціальне числення функції двох змінних.

Заняття 19. Знайти область визначення функції двох змінних.

210).		211).	212).
213).		214).	215).
216).		217).
	Заняття 20. Знайти частинні похідні функцій.
218).	219).	220).	221).
222).		223).	224).
225).	226).	227).	228).