Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Одесская национальная академия пищевых технологий

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Метод - Аналітична геометрія

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.02.2016

Размер:

1.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Приклад 3. Через точку M 1; 3; 2 провести пряму, перпендикулярну площині x 2y 2z 5 0 .

Рішення. Візьмемо за напрямний вектор шуканої прямої паралельний йому нормальний вектор n 1; 2; 2 даної площини. Знаючи координати точки, через яку проходить пряма та її напрямний вектор, запишемо

канонічні рівняння цієї прямої

x 1

y 3

z 2

Приклад

4. Знайти точку

перетину

прямої

x 2

y 3

z 1

площиною x 2y 3z 4 0 .

Рішення. Запишемо рівняння прямої в параметричній формі: поклавши

x 2

y 3

z 1

x 2 4t,

t , отримаємо y 3 2t,

z 1 5t.

Підставимо отримані значення змінних х, у, z в рівняння площини, маємо 2 4t 2 3t 2 3 1 5t 4 0 , звідки t 1.

Підставивши тепер отримане значення в параметричні рівняння прямої, отримаємо x 6, y 5, z 4 .

Отже, 6; 5; 4 – шукана точка перетину прямої і площини.

Приклад 5. Знайти точку N, симетричну точці M 1;1;1 відносно площини x y 2z 6 0 .

Рішення. Запишемо рівняння довільної прямої, що проходить через

точку М:	x 1	y 1	z 1	. Координати	s l; m; n напрямного вектора
	l	m	n

прямої, перпендикулярної площині, можна замінити координатами

нормального вектора

n 1;1; 2

цієї площини.

Тоді рівняння цієї прямої

подамо у вигляді

x 1

y 1

z 1

Знайдемо проекцію точки М на дану

x y 2z 6 0,

y 1

z 1

площину, розв’язавши систему x 1

x 1 t,

Перепишемо рівняння прямої в параметричному вигляді y 1 t,

z 1 2t.

Підставимо ці вирази в рівняння площини, знайдемо t 1, звідки x 2, y 2 , z 1.

Координати симетричної точки знайдемо з формул

xM xN

yM yN

zM zN

тобто 2

1 xN

, 2

1 yN

1 zN

, отже, x

3, z

Отже, N

3; 3; 3 .

Приклад 6. Знайти точку N, симетричну точці M 1;1;1

відносно прямої

x 1

z 1

Рішення. Рівняння площини, що проектує точку М на дану пряму, має

вигляд A x 1 B y 1 C z 1 0 .

Координати

нормального

вектора

n A; B; C площини,

перпендикулярної прямій, замінимо координатами

напрямного

вектора

s 2; 3; 1

даної

прямої;

тоді отримаємо

2 x 1 3 y 1 z 1 0							або 2x 3y z 4 0 .
Знайдемо проекцію точки М на пряму, для чого розв’яжемо систему
2x 3y z 4 0,
	1			z 1
рівнянь x	1	y		z 1	.

				1
	2	3		1
															x 1 2t,
Параметричні				рівняння даної						прямої мають				вигляд
Параметричні				рівняння даної						прямої мають				вигляд	y 3t,

															z 1 t.
Підставляючи x, y і z площини, знайдемо t												1	.
Підставляючи x, y і z площини, знайдемо t											14		.
											14
Звідси	x	8	,	y	3	,	z	15	.	Тоді		координати		симетричної точки
Звідси	x		,	y		,	z		.	Тоді		координати		симетричної точки
		7		14			14

можна знайти, використовуючи формули для координат середини відрізка

8		1 xN	,		3		1 yN			,		15		1 zN	, звідки x	N		9	, y	N		4	,	z	N		22	.
							1 yN


7	2			14				2			14			2			7				7					7
7	2			14				2			14			2			7				7					7
					9	;		4	;		22
		Отже,		N									.
		Отже,		N									.
					7			7			7

4.3Вправи для самостійної роботи

1. Скласти рівняння площини, яка проходить через дві паралельні прямі

	x 2		y 1	z 3	,	x 1		y 2	z 3	.
				2
3		2				3	2		2
2. Скласти рівняння площини, яка проходить через пряму x 3t 1,

y 2t 3, z t 2 та паралельно прямій

2x y z 3 0, x 2y z 5 0 .

Скласти рівняння площини, яка проходить через пряму

x 1

y 2

z 2

перпендикулярно до площини

3x 2y z 5 0 .

Знайти точку перетину прямої

x 1

y 1

і площини

2x 3y z 1 0 .

5.Знайти проекцію точки P 1; 3; 4 на площину 3x y 2z 0 .

6.Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку P 7; 5; 3

перпендикулярно до площини : 2x 3y z 7 0 .

		7.		Знайти точку A яка є симетричною точці B 1; 3; 4 відносно
площини 3x y 2z 0 .
		8.		Знайти точку A яка є симетричною точці B 1; 0;1 відносно прямої
	x 1		y 1,5			z	.
							.
1				1	1
								x 3t 2
		9.		Довести, що пряма
		9.		Довести, що пряма				y 4t 1 паралельна до площини

								z 4t 5

4x 3y 6z 5 0 .

5x 3y 2z 5 0

10. Довести, що пряма належить площині

2x y z 1 0

4x 3y 7z 7 0 .

Розрахунково – графічне завдання

Завдання 1. Дано прямі (l1) , (l2 ) і точку M0 (x0; y0 ) . Потрібно:

1) записати рівняння прямої (l1) у відрізках, а прямої (l2 ) - з кутовим коефіцієнтом;

2)записати рівняння прямої (l3) , що проходить через точку M0 (x0; y0 ) паралельно прямій (l1) ;

3)написати рівняння прямої (l4 ) , що проходить через точку

M0 (x0; y0 ) перпендикулярно прямій (l2 ) ;

4)обчислити косинус кута між прямими (l1) та (l2 ) ;

5)написати рівняння прямої (l5 ) , що проходить через точку M0 (x0; y0 ) та точку перетину прямих (l1) та (l2 ) .

№ варіанта	(l1) : A1x B1y C1 0		(l2 ) : A2x B2 y C2 0	M0 (x0; y0 )
1	2x 3y 18 0		3x 6y 15 0	( 2;1)

2	x y 5 0		2x y 4 0	(1;6)

3	4x y 12 0		2x y 12 0	( 3;2)

4	3.x 4y 24 0		x y 1 0	(2;1)

5	7x y 14 0		4x 3y 17 0	( 3; 1)

6	6x 2y 9 0		4x 3y 19 0	( 2;1)

7	9x 2y 9 0		6x 2y 21 0	(3; 1)

8	6x 5y 5 0		x 2y 5 0	(3;6)

9	x 2y	6 0	2x 5y 24 0	( 4;2)

10	x 5y 20 0		2x 3y 25 0	(2; 1)

11	2x 5y 30 0		x 2y 15 0	(3;3)

12	3x 5y 25 0		4x y 28 0	(1;0)

13	3x y 4 0		x 2y 1 0	( 4;0)

14	4x 5y 10 0		6x 2y 7 0	( 2.5;1)

15	6x 5y 15 0		x 2y 1 0	(3; 4)

16	x 2y 4 0		2x 5y 8 0	(7; 3)

17	x 5y 10 0		2x 3y 19 0	(2;3)

18	2x 5y 20 0		x 2y 9 0	(3; 1)

19	3x 5y 15 0		4x y 26 0	(1;2)

20	3x y 6 0		x 2y 5 0	( 4;2)

21	4x 5y 20 0		6x 2 y 3 0	( 2.5;1)

22	2x 3y 24 0		3x 6y 27 0	( 2;1)

23	x y 7 0		2x y 2 0	(1; 4)

24	4x y 10 0		2x y 14 0	(3;0)

25	3x 4y 16 0		x y 3 0	(2;1)


26	7x y 12 0	4x 3y 11 0	( 3;3)

27	6x 2y 15 0	3x 4y 15 0	( 2;1)

28	9x 2y 19 0	6x 2y 11 0	(3; 1)

29	2x 3y 8 0	5x y 3 0	( 2;3)

30	5x 4y 6 0	3x 2y 11 0	(2; 4)

Завдання 2.	Дано вершини піраміди A1A2 A3A4 . Знайти:

1)рівняння прямої A1A2 ;

2)рівняння площини A1A2 A3 ;

3)рівняння висоти, яку проведено з вершини A4 до площини A1A2 A3 ;

4)відстань від точки A1 до площини A2 A3A4 .

1;3;6 ,

A2 2;2;1 , A3 1;0;1 ,

4;6; 3 ;

4;2;6 , A2 2; 3;0 ,

10;5;8 ,

A4 5;2; 4 ;

7;2;4 ,

7; 1; 2 ,

3;3;1 ,

A4 4;2;1 ;

2;1;4 ,

1;5; 2 ,

7; 3;2 ,

A4 6; 3;6 ;

1; 5;2 ,

6;0; 3 ,

A3 3;6; 3 , A4 10;6;7 ;

0; 1; 1 ,

2;3;5 ,

A3 1; 5; 9 ,

A4 1; 6;3 ;

5;2;0 ,

A2 2;5;0 , A3 1;2;4 ,

A4 1;1;1 ;

2; 1; 2 ,

1;2;1 ,

A3 5;0; 6

A4 10;9; 7 ;

2;0; 4 ,

1;7;1 ,

4; 8; 4 , A4 1; 4;6 ;

10.

14;4;5 , A2 5; 3;2 ,

2; 6; 3 ,

A4 2;2; 1 ;

11.

1;2;0 ,

A2 3;0; 3 , A3 5;2;6 , A4 8;4; 9 ;

12.

2; 1;2 , A2 1;2; 1 ,

A3 3;2;1 ,

A4 4;2;5 ;

13.

1;1;2 ,

1;1;3 , A3 2; 2;4 ,

1;0; 2 ;

14.

2;3;1 ,

4;1; 2 , A3

6;3;7 ,

A4 7;5; 3 ;

15.

1;1; 1 ,

A2 2;3;1 , A3 3;2;1 ,

A4 5;9; 8 ;

16.

1;5; 7 , A2

3;6;3 ,

2;7;3 ,

A4 4;8; 12 ;

17.

3;4;7 , A2

1;5; 4 ,

5; 2;0 ,

2;5;4 ;

18.

1;2; 3 ,

A2 4; 1;0 ,

A3 2;1; 2 ,

3;4;5 ;

19.

4; 1;3 , A2

2;1;0 ,

0; 5;1 ,

A4 3;6; 6 ;

20.

1; 1;1 ,

A2 2;0;3 ,

A3 2;1; 1 ,

2; 2; 4 ;

21.

1;2;0 ,

1; 1;2 , A3

0;1; 1 , A4

3;0;1 ;

22.

1;0;2 ,

1;2; 1 , A3

2; 2;1 , A4

2;1;0 ;

23.

1;2; 3 , A2 1;0;1 , A3 2; 1;6 ,

A4 0; 5; 4 ;

24.A1 3;10; 1 , A2 2;3; 5 , A3 6;0; 3 , A4 1; 1;2 ;

25.A1 1;2;4 , A2 1; 2; 4 , A3 3;0; 1 , A4 7; 3;1 ;

26.A1 0; 3;1 , A2 4;1;2 , A3 2; 1;5 , A4 3;1; 4 ;

27.A1 1;3;0 , A2 4; 1;2 , A3 3;0;1 , A4 4;3;5 ;

28.A1 2; 1; 1 , A2 0;3;2 , A3 3;1; 4 , A4 4;7;3 ;

29.A1 3; 5;6 , A2 2;1; 4 , A3 0; 3; 1 , A4 5;2; 8 ;

30.A1 2; 4; 3 , A2 5; 6;0 , A3 1;3; 3 , A4 10; 8;7 ;

Завдання 3. Дано точки K , M , N і площина ( ) .

1) записати рівняння площини ( ) , що проходить через точку K перпендикулярно до вектора KM ;

2)обчислити відстань від точки K до площини ( ) ;

3)написати рівняння площини ( ) , що проходить через точки K , M , N ;

4)знайти кут між площинами ( ) та ( ) ;

5)написати рівняння прямої (l1) , що проходить через точки M і N ;

6)скласти канонічні рівняння прямої (l2 ) - лінії перетину площин ( ) та

( ) ;

7)знайти кут між прямими (l1) та (l2 ) ;

8)написати рівняння прямої (l3) , що проходить через точку K перпендикулярно площині ( ) ;

9)з’ясувати, чи будуть паралельні пряма (l1) і площина ( ) ;

10) знайти точку перетину прямої (l3) і площини ( ) ;

11)з’ясувати, чи будуть паралельними прямі (l1) та (l3) ;

12)знайти кут між прямою (l1) та площиною ( ) .


№	K	M	N	( )
варіанта
1	( 2; 4;7)	(3;2; 3)	(1; 2;0)	2x y 5z 16 0

2	(2;0;3)	(3;2;3)	(2;2;5)	x 3y z 1 0

3	(1;2; 1)	(2;5;0)	(6; 1;2)	4x 5y 3z 1 0

4	(2;2;1)	(2;1;0)	(4;1;5)	3x y 2z 15 0

5	(2;2;1)	(1;3;3)	(3;1;3)	3x y 2z 8 0

6	(0;2; 2)	(1;9;3)	(6; 6; 2)	3x y 3z 4 0

7	(2;3;0)	(4;1; 3)	(6;3;6)	6x 3y 2z 0

8	(2;2;3)	(0;2;4)	(3; 1;5)	x 2y 6z 12 0

9	(2;2;0)	(3;4;2)	(4;3;2)	x 2y 2z 3 0

10	(0;4; 7)	(4;5; 4)	( 2; 2;0)	2x y 5z 16 0


11	(5;0;3)	( 1;2;0)	(1; 4;1)	2x 2y z 2 0

12	(2;3;1)	(2;0;3)	(1;2;0)	3x 4y 12z 7 0

13	(2;3; 2)	(2;1;2)	( 1;0;7)	2x y 2z 1 0

14	(0;3;5)	(0; 1; 3)	(4;1;0)	2x 3y 6z 7 0

15	(2;4;1)	(5;0;3)	(4;1;2)	x 2y 2z 2 0

16	(2;1;1)	(2;1; 1)	(4;4;5)	2x 2y z 5 0

17	(7;1;3)	( 2; 1;0)	(0; 2; 1)	x 2y 2z 3 0

18	(7;1;1)	( 2; 1;1)	(1; 3; 5)	2x y 2z 3 0

19	(3; 3; 2)	(6; 5;1)	(0;4; 2)	x 3y 2z 15 0

20	( 1;0;0)	(1;4;3)	(4;2; 3)	x y z 12 0

21	(1; 2;2)	( 3;2;3)	(3;0;6)	x 2y 2z 1 0

22	(4;11;0)	( 1;4; 4)	( 5;1; 2)	6x 2y 3z 12 0

23	(2;1;3)	(2;3;0)	(3; 1;2)	2x y 2z 9 0

24	(3;0; 1)	(2;3;2)	(6;1; 5)	3x 4z 5 0

25	(12;2;3)	( 7; 5;0)	( 4; 8; 5)	4x 4y 2z 1 0

26	(3;0;3)	(2;3;0)	(4;3;2)	4x 3y 12z 2 0

27	(1;2;0)	(3;0; 3)	(5;2;6)	x 2y 2z 1 0

28	(1;5; 5)	( 3;6;5)	( 2;7;5)	x 2y 2z 5 0

29	( 1;4; 3)	(4;1;0)	(2;3; 2)	x y 2z 1 0

30	(1;2;0)	(3;0; 3)	(5;2;6)	x 2y 2z 1 0

Завдання 4. Складіть канонічні рівняння прямої.

№ варіанта		№ варіанта
1	x 4 y 4z 10 0	16		x 2 y 3z 6 0

	2x y 2z 6 0			2x 3y z 8 0
2	x 4 y z 10 0	17	x 5y 2z 20 0

	2x y 2z 5 0		4x 2 y z 8 0
3	x 6 y 3z 12 0	18	x 2 y 3z 5 0

	3x 2 y 3z 6 0		5x y 4z 12 0
4	x 3y 2z 6 0	19	x 6 y 2z 14 0

	2x 2 y 3z 6 0		4x y 2z 8 0
5	x 3y 3z 7 0	20	2x 3y 4z 15 0

	2x y z 3 0		2x y 3z 4 0
6	3x 2 y z 8 0	21		4x 2 y z 10 0
6		21

	2x y z 7 0		2x 3y 2z 12 0
7	3x y 4z 6 0	22		2x 3y 2z 5 0
7		22

	4x y 2z 3 0		2x 2 y 3z 4 0

x 5y 3z 11 0

x 6 y 2z 2 0

2x 3y z 3 0

3x y 3z 0

x 7 y 2z 14 0

x 4 y 4z 10 0

4 y z 6 0

2x y 2z 6 0

3x 4 y 2z 15 0

5x y 2z 20 0

x 2 y 2z 10 0

2x 2 y z 4 0

x 3y 3z 9 0

x 8y 2z 6 0

4 0

4x 2 y z 7 0

2x y z

x 2 y 4z 10 0

x 2 y 4z 2 0

y 3z 16 0

3x 2 y z 36 0

x y z 5 0

x 2 y 4z 12 0

2 y 2z 4 0

2x y 2z 6 0

x 3y 2z 13 0

3x y 2z 6 0

y z 16 0

2x y 4z 8 0

x 3y 6z 11 0

x 4 y 5z 0

x 2 y 2z 5 0

2x y 3z 2 0

Завдання 5. Знайдіть:

а) точку перетину прямої і площини;

б) кут між прямою і площиною;

в) точку, симетричну точці P відносно даної площини.

№

a :

x x0

y y0

z z0

( ) : Ax By Cz D 0

варіанта

x 2

y 3

z 1

x 2y 3z 14 0

(1;3; 6)

x 1

y 3

z 1

2x y 5z 16 0

(1; 2;0)

x 1 y 5 z 1

x 3y z 1 0

(2;2;5)

x 1 y z 3

4x 5y 3z 1 0

(6; 1;2)

x 5 y 3 z 2

3x y 2z

15 0

(4;1;5)

x 1 y 2 z 3

3x y 2z

8 0

(3;1;3)

x 1 y 2 z 1

3x y 3z

4 0

(6; 6; 2)

8			x 1 y 2 z 4																	6x 3y 2z 0	(6;3;6)
																				6x 3y 2z 0	(6;3;6)

	2					0						1
9			x 2 y 1 z 4																	x 2y 6z 12 0	(3; 1;5)
																				x 2y 6z 12 0	(3; 1;5)

				1		1												1
10		x 2								y 2								z	3	x 2y 2z 3 0	(4;3;2)
10		x 2								y 2								z	3

	1					0						0
11				x 1					y 1							z 2				2x y 5z 16 0	(4;5; 4)
11				x 1					y 1							z 2
			2							1				3
12				x 1						y 1							z 1			2x 2y z 2 0	( 1;2;0)
12				x 1						y 1							z 1
				1				0										1
13			x 2							y 1							z		3	3x 4y 12z 7 0	(2;0;3)
13			x 2							y 1							z		3
				1		1						2
14		x 3							y 2									z	2	2x y 2z 1 0	(2;1;2)
14		x 3							y 2									z	2
	1									5						3
15		x 2							y 2									z	4	2x 3y 6z 7 0	(0; 1; 3)
15		x 2							y 2									z	4
	2									1		3
16		x 3							y 4									z	4	x 2y 2z 2 0	(5;0;3)
16		x 3							y 4									z	4
				1		5						2
17				x 3						y 1								z 1		2x 2y z 5 0	(2;1; 1)
17				x 3						y 1								z 1

	2					3						5
18			x 3						y 1								z		3	x 2y 2z 3 0	( 2; 1;0)
18			x 3						y 1								z		3

	2					3						2
19		x 5							y 2									z	4	2x y 2z 3 0	( 2; 1;1)
19		x 5							y 2									z	4
				2		0												1
20			x 1						y 8								z		5	x 3y 2z 15 0	(6; 5;1)
20			x 1						y 8								z		5
			8							5					12
21			x 3						y 1								z		5	x y z 12 0	(1;4;3)
21			x 3						y 1								z		5
	1									1		0
22			x 5						y 3									z	1	x 2y 2z 1 0	( 3;2;3)
22			x 5						y 3									z	1
				1		5						2
23			x 1			y 2											z		6	6x 2y 3z 12 0	( 1;4; 4)
23			x 1			y 2											z		6
	7					1												1
24		x 3					y 2										z		8	2x y 2z 9 0	(2;3;0)
24		x 3					y 2										z		8
	1									1		0
25					x 1						y		z 1							3x 4z 5 0	(2;3;2)
25					x 1						y		z 1							3x 4z 5 0
					2						0		3
26			x 1				y 3								z				5	4x 4y 2z 1 0	( 7; 5;0)
26			x 1				y 3								z				5

	6					1						3

x 2

y 1

z 3

4x 3y 12z 2 0

(2;3;0)

x 1

y 2

z 3

x 2y 2z 1 0

(3;0; 3)

x 1

y 3

z 2

x 2y 2z 5 0

( 3;6;5)

x 3

y 2

z 5

x y 2z 1 0

(4;1;0)

Список літератури

1.Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии, изд. 15. Москва, Наука, Физматлит, 1998. – 240с.

2.Валєєв К. Г., Джалладова І. А. Вища математика: Навч. посібник: У 2-х

ч. – К.: кнеу, 2001. – Ч. 1. – 546с.

3.Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. - 2-е изд., испр. - М.: Айрис-пресс, 2004.- 288с.

4.Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс / - 8-е узд. – М.: Айрис-пресс,

2010. – 576с.

5.Дюженкова Л.І., Дюженкова О.Ю., Михалін Г.О. Вища математика. Приклади і задачі / Посібник. - К.: Видавничий центр «Академія»,

2003. - 624с.

6.Пастушенко С.М., Підченко Ю.П. Вища математика: Довідник для студентів вищих навчальних закладів: Навч. посібник. 4-е вид. – К.:

Діал, 2006. – 464с.

7.Денисюк В.П., Репета В.К. Вища математика. Модульна технологія навчання: Навч. посібник: У 4ч. – Ч.1. – К.:Книжкове вид-во НАУ,

2005. - 296с.

8.Коновенко Н.Г., Міськін М.О., Федченко Ю.С. Вища математика. Розрахунково-графічні завдання для студентів, які навчаються за навчальними планами бакалаврів денної форми навчання / Одеса, ОНАХТ, 2007. – 63с.

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.02.2016304.71 Кб13менеджмент.docx
#
09.02.20161.05 Mб486Менеджмент.docx
#
09.02.2016664.58 Кб20Меню Суши-Бара.doc
#
09.02.2016105.47 Кб19Меню.doc
#
09.02.2016677.53 Кб22Метод - I семестр.pdf
#
09.02.20161.21 Mб26Метод - Аналітична геометрія.pdf
#
09.02.20161.16 Mб62Метод - Векторна алгебра.pdf
#
09.02.201612.22 Mб19Метод гидромех 2014_3 .pdf
#
25.11.201954.55 Кб3Метод до практик, сам роботи та к.р.docx
#
09.02.20162.56 Mб57МЕТОД САМ РАБОТА 27.03.2013 Хімія. - копия.doc
#
13.11.2019658.43 Кб3Метод ук. измерения_исправ..doc