Метод - Аналітична геометрія

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Одесская национальная академия пищевых технологий

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

§4. Пряма і площина

4.1 Основні теоретичні відомості

Нехай дано площину

Ах Ву Сz D 0, а також пряму з канонічним

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.02.2016

Размер:

1.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Неповні рівняння площини:

	Умова		Рівняння	Положення площини
			площини
D 0			Ax By Cz 0	проходить через початок координат

A 0			By Cz D 0	паралельна осі Ox

A 0, D 0			By Cz 0	проходить через вісь Ox

A 0, B 0			Cz D 0	паралельна площині Oxy

А 0, B 0,		D 0	z 0	площина Oxy

A 0, C 0			By D 0	паралельна площині Oxz

А 0, C 0 ,		D 0	z 0	площина Oxz

B 0			Ax Cz D 0	паралельна осі Oy

B 0, D 0			Ax Cz 0	проходить через вісь Oy

B 0	, C 0		Ax D 0	паралельна площині Oyz

B 0	, C 0 ,	D 0	x 0	площина Oyz

C 0			Ax By D 0	паралельна осі Oz

C 0 , D 0			Ax By 0	проходить через вісь Oz

Кут між двома площинами


Нехай :	A1x B1y C1z D1 0,			A1, B1,C1 ;
		n1
:	A2x B2 y C2z D2 0 ,				A2, B2,C2 .
			n2

Кут між двома площинами і дорівнює куту між відповідними векторами нормалей n1 і n2 :

cos

A1A2

B1B2 C1C2

B2 C2

Умова паралельності двох площин і

А1

В1

С1

А2

В2

С2

Умова перпендикулярності двох площин і :

А1А2 В1В2 С1С2 0

Відстань від точки M1 x1, y1, z1 до площини Ax By Cz D 0:

d Ах1 Ву1 Сz1 D . А2 В2 С2

2.2Розв’язання задач Приклад 1. Скласти рівняння площини, що проходить через точку

M 2; 3; 4 і має нормальний вектор

n 4i 2 j 3k .

Рішення.

Достатньо

використати

рівняння

площини

A x x0

B y y0

C z z0 0 ,

що

проходить

через

дану

точку

перпендикулярно даному

вектору:

4 x 2 2 y 3 3 z 4 0 ,

тобто

4x 2y 3z 14 0.

Приклади 2. Написати загальне рівняння площини, що проходить через

точки M1

1; 0; 3 , M2

1; 2; 2 , M3 2; 1; 0 .

Рішення. Підставимо координати точок у рівнянні

x x1

y y1

z z1

x 1

y z 3

x2 x1

y2 y1

z2 z1

0 .

x3 x1

y3 y1

z3 z1

Розкриємо визначник:

x 1

2 1

z 3

0 .

1 3

Тоді шукане рівняння площини матиме вигляд:

x 1 7 7 y z 3 0 0

7x 7 y 7 0

або x y 1 0 .

Приклад

Знайти

кут

між

площинами

: 2x 3y z 1 0 і

: x y z 5 0.

Рішення.

З умови прикладу

маємо відповідні

вектори нормалей

2;3;1 ,

1; 1;1 .

За

формулою

cos

A1A2 B1B2 C1C2

маємо

cos

2 1 3 1 1 1

0 .

22 32 12

12 1 2 12

Таким чином, задані площини є перпендикулярними.

Приклад 4. Скласти рівняння площини, що проходить через лінію перетину площин x y z 1 0 , 2x y z 2 0 і через точку M 0; 2;1 .

Рішення. Використаємо рівняння пучка площин

A1x B1y C1z D1 A2x B2 y C2z D2 0 , яке

при довільному значенні визначає деяку площину, що проходить через пряму перетину площин.

У нашому випадку x y z 1 2x y z 2 0 . Значення

знайдемо з умови, що координати точки М задовольняють рівняння шуканої

площини: 0 2 1 1 0 2 1 2 0 , звідки

Отже,

шукане

рівняння

площини

має

вигляд

x y z 1

2x y z 2 0 або x y 5z 7 0 .

Приклад

Знайти відстань

від

точки A 2; 3; 4

до

площини

x 3y 2z 5 0 .

Рішення. Застосуємо формулу

Ax0 By0 Cz0

A2 B2 C2

1 2 3 3 2 4 5

. Значить, шукана відстань дорівнює

12 32

Приклад

Знайти

відстань

між паралельними

площинами

2x 3y 6z 2 0 і 2x 3y 6z 14 0.

Рішення. Для відшукання відстані між паралельними площинами потрібно знайти точку на одній з них і знайти відстань від цієї точки до іншої

площини. Покладемо в рівнянні першої площини y 0 і z 0 ,	отримаємо
2x 2 0 , тобто x 1; отже, першій площині належить точка	M 1; 0; 0 .

Тепер за формулою для знаходження відстані від точки до площини маємо,

що d	1 2 3 0 6 0 14				16
					16

					7

		22 3 2 62
Приклад 7. Знайти висоту піраміди								h , якщо відомі координати її
вершин: S 1; 2; 1 , A 1; 0; 2 ,						B 0;1;1 , C		2; 0; 1 .
Рішення. Складемо рівняння основи АВС, тобто площини, яка
проходить через точки А, В, С:
			x 1	y 0		z 2
			x 1	y 0		z 2
			1	1		1	0 3x 4 y z 5 0 .
			1	0		3

Довжину висоти знайдемо як відстань від точки S до площини АВС:

h	3 1 4 2 1 1 5	5		.



	32 42 12		26

2.3Вправи для самостійної роботи

1. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку M1(2;1; 1) і має нормальний вектор n 1; 2;3 .

2. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку M1(3;4; 5) паралельно векторам a1 3;1; 1 і a2 1; 2;1 .

3. Скласти рівняння площини, яка проходить через початок координат перпендикулярно до двох площин 2x y 3z 1 0 , x 2y z 0 .

4. Скласти рівняння площини, що проходить через точки

4.1M1(3; 1;2) , M2 (4; 1; 1) , M3(2;0;2) ;

4.2M1( 2;3;0) , M2 (4; 1;5) , M3(3;5; 1) ;

4.3M1(1;3;2) , M2 (2;5;1) , M3(1;0;2) .

5. Вкажіть, які з наступних пар рівнянь визначають паралельні площини:

5.1 2x 3y 5z 7 0 , 2x 3y 5z 3 0;

5.24x 2y 4z 5 0 , 2x y 2z 1 0 ;

5.3x 3z 2 0, 2x 6z 7 0 .

6. Вкажіть, які з наступних пар рівнянь визначають перпендикулярні площини:

6.13x y 2z 5 0 , x 3y 2z 5 0 ;

6.22x 3y z 3 0 , x y z 5 0;

6.32x 5y z 0 , x 2z 3 0 .

7.Скласти рівняння площини , яка проходить через точку M ( 2;3;4) паралельно до площини : x 2 y 3z 4 0 .

8.Знайти кут між площинами : x 2 y 2z 8 0 та : x z 6 0 .

9.Скласти рівняння площини, яка проходить через точки A(3; 1;2) ,

B(4; 2; 1) перпендикулярно до вектора MB .

10. Знайти висоту піраміди h , якщо відомі координати її вершин:

S 3; 2; 1 , A 1;1; 2 , B 1; 2;1 , C 3; 0;1 .

§3. Пряма у просторі

3.1Основні теоретичні відомості

Нехай дано точку М0(х0, у0, z0) на прямій і вектор s l, m, n , що паралельний даній прямій.

Канонічні рівняння прямої :

х х0	у у0	z z0	.
			.
l	m	n

Рівняння прямої, що проходить через дві точки M1(x1, y1, z1) і

M2 (x2, y2, z2 ) :

х х1		у у1		z z1			.

х	х	у	у	z	2	z
2	1	2	1			1

Параметричні рівняння прямої:

х х0 lt

y y0 mt ,z z0 nt

Пряма, як лінія перетину двох непаралельних площин:

	А х В у С z D 0,
	1	1	1	1	(1)
	А2х В2 у С2z D2 0.
Рівняння			(1)	називаються	загальними

рівняннями прямої. Напрямний вектор s цієї прямої ортогональний до кожної з нормалей

	1 А1, В1,С1 ,		2 А2, В2,С2 .
n		n

Отже, можна вважати що s n1 n2.

Взаємне розміщення двох прямих

Нехай дано дві прямі, що визначаються рівняннями

х х1

у у1

z z1

х х2

у у2

z z2

Під кутом між двома прямими L1

і L2 розуміють кут між

відповідними напрямними векторами s1

та s2 .

cos

або cos

l1l2 m1m2

n1n2

l12 m12 n12

l22 m22 n22

Умова перпендикулярності двох прямих має наступний вигляд: l1l2 m1m2 n1n2 0 .

Умова паралельності двох прямих матиме наступний вигляд:

l1 m1 n1 l2 m2 n2

3.2Розв’язання задач

Приклад 1. Скласти канонічне рівняння прямої, що проходить через точку M 3; 2;1 паралельно до вектора a 1;2;3 .

Рішення

Оскільки задано точку та напрямний вектор, то рівняння прямої

напишемо скориставшись канонічним рівняння:

x x0

y y0

z z0

. Тоді

матимемо:

x 3

y 2

z 1

Приклад 2. Пряму задано, як перетин двох площин

2x y 3z 1 0,5x 4 y z 7 0.

Звести до канонічного вигляду дане рівняння прямої.

Рішення

спосіб.

Виключимо

спочатку

у,

потім

Одержимо,

що

13x 11z 11 0,

17x 11y 22

Якщо розв’язати кожне рівняння системи відносно

х,

то

отримаємо

y 2

z 1

ІІ спосіб. З рівнянь даних площин легко знайти, що

n1 2; 1; 3 і

n2 5; 4; 1 . Тоді напрямний вектор шуканої прямої

s n1 n2

11i 17 j 13k s 11;17;13 .

Знайдемо

точку,

яка

лежить

на заданій

прямій. Для цього зручно

покласти x0 0, отримаємо систему

y 3z 1 0,

4 y z 7 0.

Розв’язуючи цю систему, знайдемо ординату та аплікату точки, яка

належить даній прямій,

y1 2, z1 1.

Отже, дана пряма має канонічні рівняння

y 2

z 1

x 1

y 3

x 2t,

2 t,

Приклад 3. Знайти кут між прямими l1

і l2 :

3t.

Рішення

З рівнянь прямих знайдемо напрямні вектори даних прямих

s1 2; 8; 4 і s2 2; 1; 3 . Тоді

cos

2 2 8 1 4 3

22 8 2 4 2

22 1 2 32

Приклад 4. При яких значеннях m і

прямі l

x 1

y 2

та

l :

x 1

y 5

z 3

паралельні?

Рішення

З умови паралельності прямих маємо

, звідси

2 m 2 і

2 n 1.

3.3Вправи для самостійної роботи

1. Скласти канонічне рівняння прямої, яка проходить через точку M1(2;0; 3) паралельно:

1.1вектору a1 2; 3;5 ;

1.2 прямій	x 1		y 2	z 1	;
				1
	5	2

1.3осі Ох;

1.4осі Оу;

1.5осі Оz.

2. Скласти канонічне рівняння прямої, яка проходить через задані точки

2.1	M1	1;	2;	1 ,	M2 3;	1; 1 ;
2.2	M1	3;	1;	0 ,	M2 1;	0; 3 ;
2.3	M1	0;	2;	3 ,	M2 3;	2;	1 ;
2.4	M1	1;	2;	4 ,	M2 1; 2;		4	.

3. Скласти параметричне рівняння прямої, що проходить через задані точки

3.1	M1	3; 1; 2 ,	M2 2; 1; 1 ;
3.2 M1		1; 1; 2 ,	M2 3;		1; 0 ;
3.3	M1 0; 0; 1 ,		M2	0; 1;	2 ;
3.4	M1	2; 3; -1 ,	M2	1; -1; 3 ;
3.5	M1	1; 2; 4 ,	M2 3; -4; 1 .

4. Скласти канонічні рівняння наступних прямих:

4.1x 2 y 3z 4 0 ;3x 2 y 5z 4 0

4.2 5x y z 0	;
2x 3y 2z 5 0

4.3x 2 y 3z 1 0 ;2x y 4z 8 0

4.42x 3y 2z 8 0 .x y z 9 0

5. Скласти параметричні рівняння наступних прямих:

5.12x 3y z 4 0 ;3x 5y 2z 1 0

5.2x 2 y z 6 0 .2x y z 1 0

6. Знайти гострий кут між прямими:

x	y 2	z	,	x 2		y 3		z 5	.
	1
3		2		1	1		2

7. Знайти точку перетину прямої та площини:

7.1x 1 y 1 z , 2x 3y z 1 0 ;

12 6

7.2x 3 y 2 z 1 , x 2y z 15 0; 3 1 5

	7.3	x 2		y 1	z 3		,	x 2y 2z 6 0.
	7.3	2					,	x 2y 2z 6 0.
		2	3			2
8. Знайти точку Q , яка симетрична точці P(4;1;6) відносно прямої
	x y 4z 12 0 ,					2x y 2z 3 0 .
9.	Знайти проекцію точки P(5;2; 1)								на площину 2x y 3z 23 0.
10.	Знайти точку Q , яка симетрична точці P(1;3; 4) відносно площини
	3x y 2z 0 .
					x 1			y 2	z 5		x 3t 7
					x 1			y 2	z 5
11.	Довести, що прямі									,	y 2t 2 , лежать на
11.	Довести, що прямі					2		3	4	,	y 2t 2 , лежать на
						2		3	4

											z 2t 1
одній площині. Скласти рівняння такої площини.
12. Скласти рівняння прямої,								яка проходить через точку M (1;1;1)
перпендикулярно до векторів								a 2i 3 j k			та b 3i j 2k .

13. Скласти рівняння прямої

13.1 яка проходить через точку M (5;3;4) паралельно до вектора a 2i 5 j 8k ;

13.2 яка проходить через точку M (2;3;11) паралельно до вектора a 3i 4 j 5k .

n А, В, С , s l, m, n .

				s
	n			s
	n

Кут між цією прямою і заданою площиною: sin cos n s n s

або

sin	Аl Bm Cn		.


	А2 В2 С2	l2 m2 n2
	А2 В2 С2	l2 m2 n2

Am Bn Cp 0 - умова паралельності прямої та площини, mA Bn Cp - умова перпендикулярності прямої і площини.

Рішення

Використаємо формулу кута між прямою і площиною, в якій А=1, В=2,

С=-3, l=3, m=4, n=2, то

sin		1 3 2 4 3 2			0, 248 14 .



	12 22 3 2
			32 42 22
Приклад 2. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку
M 1; 2; 3 перпендикулярно до прямої				x 2		y 1		z 3	.

			4		3		2
Рішення Очевидно, що за нормальний					вектор		n шуканої площини
можна взяти паралельний йому напрямний вектор прямої s 4; 3; 2 . Тоді

скористаємося формулою рівняння площини, яка проходить через точку
перпендикулярно до вектора:	4 x 1 3 y 2 2 z 3 0	або

4x 3y 2z 4 0 .

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.02.2016304.71 Кб13менеджмент.docx
#
09.02.20161.05 Mб486Менеджмент.docx
#
09.02.2016664.58 Кб20Меню Суши-Бара.doc
#
09.02.2016105.47 Кб19Меню.doc
#
09.02.2016677.53 Кб22Метод - I семестр.pdf
#
09.02.20161.21 Mб26Метод - Аналітична геометрія.pdf
#
09.02.20161.16 Mб62Метод - Векторна алгебра.pdf
#
09.02.201612.22 Mб19Метод гидромех 2014_3 .pdf
#
25.11.201954.55 Кб3Метод до практик, сам роботи та к.р.docx
#
09.02.20162.56 Mб57МЕТОД САМ РАБОТА 27.03.2013 Хімія. - копия.doc
#
13.11.2019658.43 Кб3Метод ук. измерения_исправ..doc