Метод - Аналітична геометрія

Міністерство освіти і науки України ОДЕСЬКА НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ ХАРЧОВИХ ТЕХНОЛОГІЙ

Кафедра вищої математики

М е т о д и ч н і в к а з і в к и до практичних занять і самостійної роботи

з курсів «ВИЩА МАТЕМАТИКА»,

«ВИЩА ТА ПРИКЛАДНА МАТЕМАТИКА» розділ «Аналітична геометрія»

для студентів усіх напрямів підготовки денної та заочної форм навчання

Одеса ОНАХТ 2013

Методичні вказівки до практичних занять і самостійної роботи з курсів

«Вища математика», «Вища та прикладна математика» розділ «Аналітична

геометрія» для бакалаврів усіх напрямів підготовки денної та заочної форм

навчання /Укладачі Ю.С.Федченко, Н.Г. Коновенко. - Одеса: ОНАХТ, 2013.

- 30 с.

Укладачі Ю.С. Федченко, канд.фіз.-мат. наук, доцент Н.Г. Коновенко, канд.фіз.-мат. наук, доцент

Відповідальний за випуск зав. кафедрою вищої математики В.М. Кузаконь, канд. фіз.-мат. наук, доцент

ЗАГАЛЬНІ ПОЛОЖЕННЯ

Розділ “ Векторна алгебра та аналітична геометрія ” є однією з частин програм курсів “Вища математика”, “Вища та прикладна математика”, який необхідний для вивчення фундаментальних, загальноінженерних і спеціальних дисциплін, для набуття і розвитку навичок, необхідних для застосування математичних засобів в роботі інженера.

Мета практичних занять – розвиток навичок, які використовуються при практичному застосуванні математики.

У результаті вивчення даного матеріалу студент повинен:

1)вміти розв’язувати математичні задачі та зводити розв’язки до практично прийнятого результату, а також розвинути логічне і алгоритмічне мислення;

2)набувати навичок математичного дослідження прикладних питань

(застосування математичних засобів для розв’язання заданих практичних задач, вибір оптимального розв’язку, інтерпретація та оцінка отриманих результатів);

3)самостійно опрацьовувати математичні тексти, що містяться в літературі, пов’язаній зі спеціальністю студента;

4)вміти застосовувати всі нові сучасні обчислювальні засоби, а також користуватися таблицями та довідниками.

Виходячи з перерахованих вище основних задач викладання математики і враховуючи інтереси спеціальностей, авторами розроблено дані методичні вказівки.

Контроль успішності та якості навчання здійснюється з використанням методів і засобів, що визначаються вищим навчальним закладом. Академічні успіхи студентів визначаються за допомогою систем оцінювання, що використовуються у вищому навчальному закладі з обов’язковим переведенням оцінок до національної шкали та шкали ECTS.

§1. Пряма на площині

1.1Основні теоретичні відомості

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:

y kx b , де k tg .

Рівняння прямої, що проходить через задану точку М1 х1, у1 в

заданому напрямку:

y y1 k(x x1)

Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки

М1 х1, у1 , М2 х2, у2 , де х2 х1:

точку М0 х0, у0 на цій прямій, то рівняння прямої можна записати у вигляді

Вектор a називається напрямним вектором прямої.

Рівняння прямої у відрізках

Щоб побудувати графік прямої, достатньо знати дві її різні точки і через них провести пряму.

прямої у відрізках на осях.

1)загальне рівняння цієї прямої;

2)рівняння з кутовим коефіцієнтом;

3)рівняння у відрізках;

4)нормальне рівняння.

Рішення. 1) для того, щоб записати дане рівняння прямої у загальному вигляді, помножимо рівняння на 4 (найменше спільне кратне знаменників) та зведемо подібні доданки: x 2y 2 0 ;

2)розв’язавши отримане загальне рівняння даної прямої відносно змінної у, одержимо рівняння з кутовим коефіцієнтом y 12 x 1;

3)перенесемо вільний член загального рівняння в праву частину і

поділимо на нього обидві частини рівності 2x 1y 1, отримане рівняння є рівнянням у відрізках;

знаком плюс, бо вільний член загального рівняння прямої – від’ємний) і

1)рівняння медіани AD ;

2)рівняння висоти CM .

Рішення. 1) Знаходимо координати точки D , яка є серединою сторони

ВС:

Тепер складемо рівняння медіани AD , оскільки є координати точок A і D :

y x 2 .

Приклад 8. Довести, що прямі:

1)x 6y 2 0 і 5x 30y 1 0 паралельні;

2)y 0,5x 1,4 і y 2x 12 перпендикулярні.

Рішення. 1) знайдемо відношення відповідних координат нормальних

умова паралельності прямих виконується, а отже, задані прямі є паралельними;

2) перевіримо виконання умови перпендикулярності прямих, заданих

2. Знайти точку перетину двох прямих

3x 4y 29 0 , 2x 5y 19 0 .

3. Скласти рівняння прямої й побудувати пряму на кресленні, якщо відомо її кутовий коефіцієнт k і відрізок b, який відтинає пряма на осі Oy :

1) яка паралельна даній прямій;

2) яка перпендикулярна до даної прямої.

6. Дано пряму 2x 3y 4 0 . Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку M0 (2;1) :

1)паралельно до даної прямої;

2)перпендикулярно до даної прямої.

7.Задані точки:

1)A(3; 3) , B( 1; 6) , C( 6;6) ;

2)A(4;1) , B(0; 2) , C( 5;10) ;

Скласти: а) рівняння сторін ABC ;

б) рівняння медіан; в) рівняння висот

г) рівняння прямої, яка проходить через вершину A , паралельно протилежній стороні.

осях, та як рівняння прямих з кутовим коєфіціентом;

2) скласти рівняння прямої l3 , що проходить через точку M паралельно до прямої l1 ;

3) рівняння прямої l4 , що проходить через точку N перпендикулярно до прямої l2 ;

4)знайти відстань між прямою l1 та l3 ;

5)cos(l1,l2 ) ;

6)точку перетину прямих l1 та l2 ;

7)рівняння прямої , що проходить через точки M та N ;

8)зобразити рівняння прямих l1 та l2 на рисунку.

§2. Площина

2.1Основні теоретичні відомості

Рівняння площини можна знайти, якщо відомо:

1) вектор нормалі n A, B,C та точка M0 x0, y0, z0 , яка лежить на площині:

: A x x0 B y y0 C z z0 0 ;

2)координати трьох точок M0 x0, y0, z0 , M1 x1, y1, z1 , M2 x2, y2, z2