Порядок выполнения работы

1. Оформите таблицы для вычисления интегральных сумм для двух видов разбивок:n=5 и n=10. Сделайте вывод о необходимости продолжения или прекращения итерационного процесса для заданного  =0,1.

2. Исследовательская часть (численный эксперимент). Проанализируйте полученные аналогичным образом результаты для различных значений =0.1; 0.01, 0.001, 0.0001. Построите таблицу и график зависимости .

3. Определите приближенное значение интеграла для заданного .

4. Просчитайте (вручную) контрольный пример для n=2 или n=3, используя формулу трапеций численного интегрирования, сравните с полученными выше результатами.

5. Вычислить заданный вариантом интеграл методом Симпсона (две итерации).

Рекомендации к численному интегрированию методом Симпсона по формуле:

где .

Для нахождения значений М₁ и М₂ рекомендуется построить две таблицы значений х, у. Одна из таблиц - с четными номерами узлов, вторая - с нечетными.

Контрольные вопросы к лабораторной работе №4

1. Понятия определенного и неопределенного интегралов.

2. Геометрический смысл определенного интеграла.

3. Методы решения определенного интеграла.

4. В каких случаях применяют численное интегрирование.

5. Идея численного интегрирования. Понятие интегральной суммы.

6. Оценка погрешности численного интегрирования. Метод половинного шага.

7. Методы прямоугольников, трапеций, суть методов.

8. Метод Симпсона. Идея метода. Алгоритм вывода определяющих соотношений метода Симпсона.

9. Сравнение численных методов интегрирования между собой.

10. Понятие численного эксперимента, пример такого эксперимента по результатам этой лабораторной работы.

Лабораторная работа 5. Тема. Аппроксимация. Среднеквадратичное приближение функций

Задание:

Постройте математические модели (уравнения регрессии), описывающие зависимости, полученные в результате численного эксперимента в лабораторных работах №1 или №4 ( n=n(ε) или σ=σ(n)).

В качестве аппроксимирующих функций возьмите уравнения регрессии 1-го, 2-го и 3-го порядков, т.е. полиномы:

_(5.1)

Рекомендации к выполнению работы

1. Подготовьте таблицу, как показано на рис.5.1. В ячейки А9:В15 введите результаты численного эксперимента (лаб.раб. №1 или лаб.раб №4).

Рис.5.1.Расчетная схема для определения коэффициентов УР

2. Подготовьте ячейки (тонированные), в которых будут получены коэффициенты уравнений регрессий с помощью надстройки Поиск решения, это изменяемые ячейки. Введите в них значения начальных приближений для этих коэффициентов. Для контроля последующих расчетов рекомендуется ввести в них единицы.

3. В столбцах Прямая, Парабола и Гипербола (Y_{i, расчетные}). вычислите значения аппроксимирующих функций, соответственно , , . Коэффициенты этих уравнений регрессии находятся в ячейках, описанных выше. Для начального приближения они равны единицам, так было рекомендовано выше. Проверьте расчеты на этом этапе, прежде чем идти дальше.

4. В следующих столбцах вычислите квадраты отклонений между экспериментальными и расчетными значениями y_i для всех x_i,:

(5.2)

5. Вычислите суммы квадратов отклонений для каждой аппроксимирующей функции.

6. Минимизацию сумм квадратов отклонений реализуйте с помощью надстройки Поиск решения (рис.5.2).

Рис.5.2. Окно Поиск решения. Определение коэффициентов кубической параболы.

7. Вычислите средние квадратичные отклонения для каждого приближения (ячейки F17:H17):

(5,3)

8. Сделайте обоснованный вывод о «наилучшем» приближении.

9. Постройте диаграммы аппроксимирующих функций, нанесите множество экспериментальных точек.

10. Геометрический смысл точности аппроксимации проиллюстрируйте соответствующим рисунком 5.3, выбрав в качестве y=(x) «наилучшее» приближение.

Рис.5.3. Геометрический смысл точности аппроксимации.

11. Проверьте правильность ваших расчетов, используя надстройку «Линия тренда».