Контрольные вопросы к лабораторной работе №1

1. Какие типы матриц вы знаете.

2. Определитель матрицы, для всякой ли матрицы существует определитель.

3. Какая матрица является вырожденной.

4. Обратная матрица, для всякой ли матрицы существует обратная.

5. Произведение матриц, всякие ли матрицы можно перемножать.

6. Что такое норма матрицы (вектора), как они определяются.

7. Что такое транспонированная матрица.

Лабораторная работа 3

Тема. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Задание 3.1. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Для расчета используйте СЛАУ из приложения 3 в соответствии с вариантом.

Порядок выполнения работы

1. Решите СЛАУ методом Гаусса (вручную):

• прямой ход: приведите СЛАУ к эквивалентной системе с треугольной матрицей А, т.е.

• обратный ход: последовательно вычислить неизвестные x₁,.x₂, ,х_n

Пример 3.1. Решите СЛАУ (3.1) используя алгоритм метода Гаусса, приведенный на рис.3.1.

(3.1)

Рис 3.1.Расчетная схема метода Гаусса

2. Задание 3.2. Используя надстройку Excel поиск решения, решите СЛАУ, заданную вариантом.

При решении СЛАУ с помощью надстройкиExcel использует итерационные (приближенные) методы. Строится последовательность приближений,i=0,1,…n. Назовем вектором невязок следующий вектор:

(3.2)

Задача Excel заключается в том, чтобы найти такое приближение , при которомвектор невязок был бы нулевым, т.е. добиться совпадения значений правых и левых частей системы .

Последовательность действий:

1. Заготовьте таблицу для решения СЛАУ (3.1), как показано на рис.3.2.

Рис 3.2. Решение СЛАУ с помощью надстройки

2. Заготовьте ячейки А7:С7, где будет сформировано решение системы (х₁, х₂, х₃). Первоначально они остаются пустыми, т.е. равными нулю. Однако для контроля правильности вводимых далее формул, удобно ввести в эти ячейки какие-либо значения, например единицы. Эти значения можно рассматривать как нулевое приближение решения системы,.

3. Введите коэффициенты системы (матрицу А) в ячейки А3:С5.

4. В столбец D введите выражения для вычисления левых частей исходной системы . Для этого можно использовать функциюСУММПРОИЗВ, из категории Математические.

5. В столбец Е запишите значения правых частей системы (матрицу В).

6. В столбец F введите невязки в соответствии с формулой (3.2). Будет не лишним проверить правильность вычислений для случая .

7. Выберите вкладку Данные, панель Анализ и нажмите кнопку Поиск решения.

8. В окне Поиск решения (рис.3.3) в поле Изменяемые ячейки укажите блок $А$7:$С$7, а в поле Ограничения – $F$3:$F$5=0. Для этого надо щелкнуть на кнопке Добавить и ввести эти ограничения. Щелкните на кнопке Выполнить.

Рис. 3.3. Окно Поиск решения

Решение системы (3.1.) х₁=1; х₂=-1 х₃=2 получено в ячейках А7:С7, рис.3.2.

Сравните результаты решения с полученным выше решением этой же системы .

Задание 3.3. Решите СЛАУ итерационным методом Якоби с заданной точностью . Проанализируйте сходимость итерационного процесса в зависимости от =0,1;. 0,01;.. 0,001.