3. Плоский напружений стан

Найбільш часто в задачах опору матеріалів зустрічається плоский напружений стан: при крученні, згинанні, згинанні з крученням та ін.

Виділимо з тіла паралелепіпед (Рис.4) який зазнає плоского напруженого стану. По гранях виділеного елемента діють нормальні напруження , та дотичні напруження ,.

Дотичні напруження і, які діють на двох взаємно перпендикулярних площадках пов'язані одне з одним залежністю:

(4)

Ця залежність є законом парності дотичних напружень: дотичні напруження, що діють на двох будь-яких взаємно перпендикулярних площадках, рівні за величиною і протилежні за знаком.

Рис.4

Нормальні і дотичні напруження, які діють на похилих площадках (Рис.5), визначаються за допомогою виразів:

(5)

(6)

Рис.5

З'ясуємо зв'язок між нормальними напруженнями і , які діють в двох взаємно перпендикулярних площадках (Рис.6).

Напруження визначається за формулою (6). Напруження отримаємо, якщо в цю формулу підставимо :

або

. (7)

Рис. 6

Складаючи (5) і (7), приходимо до висновку, що

(8)

Вираз (8) отримав назву умови інваріантності суми нормальних напружень, що діють по двох взаємно перпендикулярних площадках: в даній точці алгебраїчна сума нормальних напружень на будь-яких двох взаємно перпендикулярних площадках є величина сталою. Цю умову використовують для перевірки правильності розв’язання задачі при дослідженні плоского напруженого стану в точці.

Екстремальні (головні) напруження діють на головних площадках і визначаються таким чином:

(9)

Для визначення напряму дії головних напружень можна скористатися формулою:

. (10)

Ця формула дає два взаємно перпендикулярні напрями з кутами нахилу і , уздовж яких діють головні напруження (Рис.7).

Рис.7

Формула (10) дає подвійний кут , і щоб встановити, який з кутів слід відкласти від осі до напряму, уздовж якого діє максимальне нормальне напруження, потрібно виконати додаткові дослідження.

Більш зручно користуватися виразами, за допомогою яких можна однозначно встановити напрями дії максимального та мінімального напружень:

, (11)

де  кут, який слід відкласти від додатного напряму осі до нормалі до площадки, в якій діє максимальне напруження ;  кут, який слід відкласти від додатного напряму осі до нормалі до площадки, в якій діє мінімальне напруження . Додатне значення кута слід відкладати проти годинникової стрілки, від’ємне – за годинниковою стрілкою.

Для контролю правильності визначення положення головних площадок використовують ще один спосіб, наведений в [5]. Виходячи з того, що з поворотом площадки в напрямі вектора дотичних напружень нормальне напруження на площадці алгебраїчно зростає, в роботі [5] формулюється наступне правило: напрямок дії завжди проходить через дві чверті осей координат, в яких стрілки дотичних напружень і збігаються.