4 Основы начертательной геометрии

Начертательная геометрия изучает способы построения изображений пространственных объектов на плоскости, разрабатывает методы и приемы решения пространственных геометрических задач на плоских изображениях.

4.1 Основы метода прямоугольного проецирования

Аппарат проецирования предполагает наличие объекта проецирования, плоскости проекций и проецируемых лучей (рисунок 4.1.1.)

Проекцией точки на плоскости проекций является точка пересечения этой плоскости с проецирующим лучом, проведенным через данную точку. Так на рисунке 4.1.1

Точка А – объект проецирования

П_о – плоскость проекций

АА_о – проецирующий луч

А_о - проекция точки А на плоскости проекций П_о.

Если проецирующий луч составляет с плоскостью проекций угол 90⁰, то получаемую проекцию называютпрямоугольной.

Прямоугольное проецирование имеет следующие свойства:

• точка проецируется в точку;

• прямая проецируется в прямую, если она не проецирующая (иначе в точку);

• плоскость проецируется в плоскость, если она не проецирующая( иначе - в прямую);

• принадлежность геометрических объектов при проецировании сохраняется. Например, если точка принадлежит прямой, то ее проекция будет принадлежать проекции прямой, если прямые параллельны, то их проекции так же параллельны;

• пропорциональность отрезков, расположенных на одной прямой при проецировании сохраняется;

• проекция геометрического объекта по величине всегда меньше самого объекта или равна ему в случае параллельности плоскости проекций.

4.2 Комплексный чертеж (эпюр) точки

На рисунке 4.2.1 показано получение проекции точки А на трех взаимно перпендику-

лярных плоскостях проекций:

горизонтальной– П₁

фронтальной – П₂

профильной – П₃

А₁– горизонтальная проекция точки А

А₂– фронтальная проекция точки А

А₃– профильная проекция точки А

Для получения плоского чертежа трех граней угол мысленно разделяют по оси у,плоскости П₁и П₃вместе с полученными на них проекциями совмещают с неподвижной плоскостью П₂, при этом плоскость П₁вращают вокруг оси проекцийх,плоскость П₃вокруг оси проекцийz в направлениях, указанных стрелками. Расстояние от точки А до плоскостей проекций называют координатами:

х – абцисса точки (расстояние от П₃ до заданной точки).

у– ордината точки (расстояние от П₂ до заданной точки)

z– апликата точки (расстояние от П₁до заданной точки)

Свойства комплексного чертежа точки:

• фронтальная и горизонтальная проекции точки связаны вертикальной линией проекционной связи А₁А_хА₂; фронтальная и профильная – горизонтальной линией А₂АzА₃;

• две любые проекции точки однозначно определяют ее положение в пространстве, т.е. по двум проекциям точки всегда можно построить третью недостающую проекцию.

4.3 Комплексный чертеж прямой

Прямая - это линия, соединяющая две точки по кратчайшему пути.

Прямая в пространстве может быть задана:

• двумя точками, принадлежащими данной прямой;

• одной точкой, принадлежащей прямой и углами наклона этой прямой к плоскостям проекций;

• одной точкой, принадлежащей прямой и каким-либо дополнительным условием (например, условием параллельности к другой заданной прямой);

• следами, т.е. точками пересечения этой прямой с плоскостями проекций.