Вопросы и задания
1. Поясните смысл и необходимость линеаризации уравнений звеньев САУ.
2. Линеаризуйте произвольно заданное нелинейное дифференциальное уравнение.
3. Поясните распространенные в САУ формы записи дифференциальных уравнений. Как перейти от одной формы записи к другой ?
4. Назовите типовые воздействия, принятые в САУ, и назовите реакции на них.
1.2. Методы расчета переходных процессов, функции веса и построения графиков переходных процессов
Понятие переходного процесса является одним из важнейших понятий ТАУ, и особенно теории линейных систем. Поэтому умение легко, практически автоматически, рассчитывать переходный процесс во многом определяет успех дальнейшего понимания ТАУ.
Как известно, передаточная функция звена – это отношение изображения по Лапласу выходного сигнала к изображению входного, которыми в частном случае могут быть переходный процесс h(p)и единичный сигнал1(p)=1/p,
Из этого следует, что изображение переходного процесса
(1.9)
Аналогично для функции веса
и
(1.10)
По свойству преобразования Лапласа, умножение изображения на p, соответствует первой производной от оригинала. Поэтому функция веса определяется также как производная от переходного процесса:
(1.11)
Заметим еще раз, что все функции комплексной переменной p - h(p), k(p) и т.д., являются изображениями соответствующих функций действительной переменной t - h(t), k(t) и т.д.
Примеры расчетов переходных процессов и функции веса
Далее расчёты переходного процесса, функции веса с построением их графиков выполним на числовых примерах.
Вид переходного процесса определяется корнями характеристического уравнения, образуемого приравниванием к нулю либо многочлена знаменателя передаточной функции, либо сомножителя при у(р) в операторном уравнении.
I. Корни характеристического уравнения действительные.
Пусть задана передаточная функция САУ
Решение.
1. Раскладываем знаменатель на простейшие сомножители
Решаем относительно pхарактеристическое уравнение
Оно имеет следующие действительные корни:
Следовательно, характеристический многочлен можно разложить на множители следующим способом:
(1.12)
2. Определяем оригинал табличным способом
Представляем выражение h(p)в виде суммы простейших дробей, оригиналы для каждой из которых имеются в таблице 1.1:
(1.13)
Чтобы коэффициенты при степенях pв левой и правой частях равенства (1.13) были бы одинаковыми, необходимо:
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях p, получаем:
Решая, эту систему уравнений, получаем:
Окончательно получаем разложение h(p) на табличные выражения:
Перейдя согласно табл.1.1 от изображений к оригиналам, получим:
(1.14)
и для функции веса:
(1.15)
3. Строим графики переходного процесса и функции веса
Для построения графика надо определить время счета и шаг изменения времени.
Определение времени счета
Приводим выражение h(t)к стандартному виду, так что бы свободный член был равен1:
(1.16)
На бесконечности
значениеh(t)
стремится к установившемуся значениюhуст=3,так как обе экспоненты в выражении
(1.16) обращаются в нуль.
Находим время переходного процесса для каждой из экспонент.
Переходный процесс считается завершенным, когда его график h(t)попадает в 5%-зону установившегося значения, и далее не выходит из нее. В представлении переходного процесса в виде (1.16) установившееся значение для выражения, заключённого в скобки, равно1.Поэтому времяtпп1,в течение которого затухает 1-я экспонента, находится из уравнения
Аналогично находим
время переходного процесса для 2-й
экспоненты: 
Время tппвсего переходного процесса не равно ниtпп1,ни tпп2,но меньше большего из этих двух значений. Точное значениеtппможно найти только из графика переходного процесса. Для аналитического его определения потребовалось бы решить трансцендентное уравнение, что невозможно.
Определение шага вычислений
Шаг вычислений Δt выбираем таким образом, чтобы объём вычислений был минимальный и достаточный для построения графика. Здесь используется практическое правило: для построения гладкого графика вручную достаточно иметь 5-10 точек графика, через которые затем "на глаз" проводится весь график.
Согласно оценке (1.17) времени tпп1 для построения составляющей графикаh(t), соответствующей 1-й экспоненте, шаг вычисленийΔt1должен быть равен0,32...0,64 с. Аналогично, основываясь на оценкеtпп2,находимΔt2=0,04...0,08 с. Поэтому в интервале измененияt от0до0,4с вычисления ведём с шагомΔt1=0,08 с, а далее до времени3,2с - с шагомΔt2=0,4 с.
Функцию веса k(t)рассчитываем по выражению (1.15) при тех же значенияхt,которые использовались при вычисленииh(t).
Результаты вычислений сводятся в таблицу 1.2.
Табл.1.2
|
t |
0 |
0,08 |
0,16 |
0,24 |
0,32 |
0,4 |
0,8 |
1,2 |
1,6 |
2 |
2,4 |
2,8 |
3,2 |
|
|
h(t) |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
k(t) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
По данным этой таблицы строятся графики h(t) иk(t)(рис.1.5).
