- •Тема.3 Принципы автоматического управления (к основной лекции 3)
- •Содержание
- •1.2.1. Принцип прямого управления (рис.В.2)
- •1.2.2. Принцип управления по возмущению (рис.В.3)
- •1.2.3. Принцип управления по отклонению (рис.В.4)
- •1. Авторулевой, удерживающий судно на заданном курсе с требуемой точностью в условиях волнения моря и других возмущающих сигналах.
- •1.1.1. Линеаризация дифференциальных уравнений
- •1.1.2. Формы записи линейных дифференциальных уравнений
- •1.1.5. Типовые воздействия и реакции на них
- •Вопросы и задания
- •2. Определяем оригинал табличным способом
- •3. Строим графики переходного процесса и функции веса
- •II. Корни характеристического уравнения комплексные
- •Вопросы и задания
1.1.2. Формы записи линейных дифференциальных уравнений
Линейные ДУ могут быть записаны в естественной, символической и операторной формах.
Естественная форма:
(1.5)
Если производная имеет порядок не выше 2-го, то можно использовать верхние точки в обозначениях производных: .
Символическая форма:
Производная n-го порядка заменяется символом.
После замены уравнение (1.5) примет более простой вид:
(1.6)
Уравнение, записанное в такой форме, можно преобразовывать как алгебраическое. Однако решение уравнение не упрощается.
Операторная форма:
В основе операторной формы записи уравнения лежит преобразование Лапласа:
Если применить преобразование Лапласа к обеим частям дифференциального уравнения (1.5), то при рулевых начальных условиях для переменных х и у и их производных можно получить следующее операторное уравнение:
(1.7)
Следует обратить внимание формальное совпадение записей в символической (1.6) и операторной (1.7) формах. Однако смысл символа p в операторной и символической формах совершенно различен – если в первой форме p является символом, и вводится исключительно для упрощения записи уравнения, то во втором – это комплексная переменная р, введение которой влечет за собой простой подход к решению уравнения.
Операторная форма записи является основной формой, используемой в теории автоматического управления.
1.1.3. Передаточная функция
Учитывая то, что звенья описываются дифференциальными уравнениями, реальные сигналы заменяются их изображениями по Лапласу и дальнейшие расчеты ведутся в операторной форме.
Передаточная функция W(p)– это отношение изображений выходного y(p) и входного x(p) сигналов при нулевых начальных условиях:
(1.8)
1.1.4. Таблица преобразований Лапласа
В ТАУ подавляющее большинство задач решается с использованием передаточной функции W(p) и изображений х(р) от нескольких простейших функций x(t) (табл.1.1).
Таблица 1.1
Таблица преобразований Лапласа
Оригинал x(t) |
Изображение x(p) |
Название |
|
1 |
Дельта-импульс |
1(t) |
|
Единичный сигнал |
t |
|
Линейная функция |
|
|
Экспонента |
|
|
Затухающие гармонические функции |
|
|
Затухающие гармонические функции |
1.1.5. Типовые воздействия и реакции на них
Методы ТАУ позволяют рассчитать реакцию на любое входное воздействие, однако систематизированные результаты, обладающие некоторыми закономерностями, можно получить для ограниченного ряда входных сигналов. В качестве типовых входных сигналов рассматривают те, которые чаще всего встречаются на практике, а также в некотором смысле являются наиболее сложными для отработки их САУ.
Реакция на единичный скачок 1(t) - переходной процессh(t) (рис.1.2)
В электрических системах единичному скачку соответствует включение напряжения питания. Этот вид сигнала является для системы наиболее тяжелым для отработки. Если система отработает этот сигнал с заданными показателями качества, то наверняка будет качественно работать при других плавно изменяющихся сигналах.
Реакция на дельта-импульс - функция веса k(t) (рис.1.3)
Дельта-импульс имеет нулевую длительность, бесконечную амплитуду и единичную площадь (S=1). Дельта-импульсу соответствует помеха в электрических схемах и удар в механических системах. Математический аппарат и свойства функции веса широко используется в расчётах импульсных САУ.
Реакция на гармонический сигнал - частотные характеристики (рис.1.4)
Если на вход линейной системы воздействует гармонический сигнал с амплитудой Xm и фазой x, то на выходе будет сигнал той же частоты, однако другой амплитуды Ym и фазы y.
Изменения амплитуды Ym и фазы y выходного сигнала y(t) зависят от частоты входного сигнала x(t). Эти зависимости определятся следующие частотные характеристики: АЧХ (амплитудно-частотную) и ФЧХ (фазо-частотную):
АЧХ: - коэффициент передачи (усиления) звена на данной частоте, равный отношению амплитуд сигналов;
ФЧХ: - сдвиг по фазе между выходным и входным сигналами.
Частотные характеристики очень просто находятся с использованием выражения передаточной функции W(p) (см. тему 1.3).