3й курс 5 семестр / Erokhina_prikl_mekh

Решение

1.Рассматривая находящуюся в равновесии балку AD, видим, что в точке С на нее действует вертикально вниз нагрузка , а в точке D под углом α к АВ действует другая нагрузка (рис. 1.1.6).

2.Освобождаем балку от связей и заменим их действие реакциями. В месте

шарнирно-подвижной опоры В возникает вертикальная реакция . Направление реакции шарнирно-неподвижной опоры в данном случае непосредственно определить нельзя, поэтому заменим эту реакцию ее двумя составляющими и

.

Рисунок 1.1.6

3.Составим систему равновесия:

(1)

(2)

(3)

4.Решаем полученные уравнения Из (1)

Так как AE=ADsinα, то из уравнения (2)

11

Замечай, что BF=BD∙sinα , из уравнения (3) получаем

Знак минус показывает, что – вертикальная составляющая реакция неподвижного шарнира – направлена вниз, а не вверх, как предполагалось перед составлением уравнения (3).

5.Определяем реакцию шарнира А. Модуль реакции шарнира А найдем из формулы

Направление реакции установим, определив угол

6.Проверим правильность решения задачи

Ответ:

Задача 1.1.7

Горизонтальная балка имеет в точке А шарнирно-подвижную опору, плоскость которой наклонена к горизонту под углом α=25º, а в точке В – шарнирно-неподвижную опору. Балка нагружена в точках C и D двумя сосредоточенными силами P1=24 кН и P2=30 кН, a=b=c=2 м. Определить реакции опор.

Рисунок 1.1.7

12

Решение

1. Составим систему равновесия:

(1)

(2)

(3) 2. Решаем полученные уравнения Из уравнения (3) находим

Из уравнения (2) находим

Из уравнения (1) находим

Таким образом, реакция шарнира А равна кН, а составляющие реакции шарнира В кН и кН

3.Проверка:

Ответ: кН; кН; кН.

1.2.Работа и мощность. Определение усилия натяжения каната.

Задача 1.2.1.

Определить потребную мощность мотора лебедки для подъема груза весом 3 кН на высоту 10 м за 2,5 с. Коэффициент полезного действия механизма лебедки равен 0,75.

Рисунок 1.2.1.

13

Решение

1.Определяем полезную мощность

Р F

Груз движется поступательно. 2.Определяем скорость подъема груза

3.Необходимое усилие равно весу груза (равномерный подъем)

N=G=3000 H 4.Определяем полезную мощность

P=N∙v=3000∙4=12000 Вт

5.Определяем полную мощность, затрачиваемую мотором

Вт=16 кВт

Ответ: 16 кВт.

Задача 1.2.2.

Для определения мощности электродвигателя через его шкив перекинута тормозная лента. Один конец ленты удерживается динамометром, а к другому концу прикреплена двухкилограммовая гиря. После запуска двигателя при установившейся угловой скорости п=1850 об/мин динамометр показывает усилие 5 кг. Определить мощность двигателя.

Рисунок 1.2.2

14

Решение

1. Рассмотрим, какие силы действуют на шкив при установившемся равномерном вращении.

Шкив приводится во вращательное движение вращающим моментом Мвр ,

создаваемым двигателем. Кроме того, на шкив действует сила натяжения правой ветви ленты, создаваемая динамометром

Т2=5∙9,81=49 Н

и сила Т1 натяжения левой ветви ленты, создаваемая двухкилограммовой гирей

Т1=2∙9,81=19,6 Н.

2. Определим вращающий момент двигателя. Так как шкив вращается равномерно, то алгебраическая сумма моментов всех сил относительно оси вращения шкива равна нулю:

где 240 мм=0,24 м – диаметр шкива

3.Переведя угловую скорость в рад/сек:

4.Определим мощность двигателя:

Ответ:

Задача 1.2.3.

Какой мощности электродвигатель необходимо поставить на лебедку, чтобы она могла поднимать клеть со строительными материалами общей массой m=1200кг на высоту 20 м за 30 секунд. Коэффициент полезного действия лебедки равен 0,72.

Решение

1.Полезная мощность, развиваемая лебедкой при подъеме:

2.Мощность двигателя N найдем из выражения к коэффициенту полезного действия

15

3. Таким образом, мощность двигателя, необходимая для лебедки

Ответ: .

Задача 1.2.4.

Найти усилие натяжения каната, наматываемого на барабан лебедки 3, и определить мощность на приводном валу этого барабана. Канат через неподвижный блок 2 связан с телом 1 (клеть), которое перемещается по направляющим 4 и с ускорением опускается. При этом трением в блоках пренебречь, коэффициент трения скольжения принять f=0,2, удельное сопротивление движению клети ω0=0,01, а угол наклона

Дано: F=35 кН; v=3,6 м/с; a=2,6 м/с2.

a

Рисунок 1.2.4.

Решение

1.Определяем массу груза:

2.Определяем силу инерции , которая направлена противоположно ускорению. А так как ускорение направлено вниз, то груз опускается и сила инерции направлена вверх.

16

3.Найдем усилия в канате. Для этого составим сумму проекций всех сил на ось и приравниваем к нулю.

Fк F Fu 35 9,282 25,718кН .

4.Определяем мощность на валу Р:

Ответ:

17

Раздел 2. Сопротивление материалов

2.1. Определение нормальных напряжений, построение продольных сил, определение продольных перемещений.

Задача 2.1.1.

Ступенчатый брус нагружен силами P1, P2, P3 (рис. 2.1.1,а).

Требуется построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений , продольных перемещений и проверить, выполняется ли условие прочности.

Дано: P1 =40 кН, P2=90 кН, P3 =110 кН, a=0,5 м, b=0,5 м, c=0,4 м, F1=6 см2, F2=14 см2, E=2∙105 МПа, 240 МПа, nT=1,5.

Решение

1.Построение эпюры N.

На брус действуют три силы, следовательно, продольная сила по его длине будет изменяться. Разбиваем брус на участки, в пределах которых продольная сила будет постоянной. В данном случае границами участков являются сечения, в которых приложены силы. Обозначим сечения буквами A,B,C,D, начиная со свободного конца, в данном случае правого.

Рисунок 2.1.1. Расчетная схема бруса и эпюры:

а– расчетная схема; б – эпюра продольных сил;

в– эпюра напряжений; г – эпюра продольных перемещений

18

Для определения продольной силы на каждом участке рассматриваем произвольное поперечное сечение, начинаем расчеты со свободного конца бруса

А.

Участок АВ, сечение 1-1. Справа от сечения действует растягивающая сила (рис. 2.1.1,а). В соответствии с упомянутым ранее правилом, получаем

Участок ВС, сечение 2-2. Справа от него расположены две силы, направленные в разные стороны. С учетом правила знаков, получим

Участок CD, сечение 3-3: аналогично получаем

По найденным значениям N в выбранном масштабе строим эпюру, учитывая, что в пределах каждого участка продольная сила постоянна (рис. 2.1.1,

б).

Положительные значения N откладываем вверх от оси эпюры, отрицательные – вниз.

2. Построение эпюры напряжений .

По формуле вычисляем напряжения в поперечном сечении для каждого участка бруса:

При вычислении нормальных напряжений значения продольных сил N берутся по эпюре с учетом их знаков. Знак плюс соответствует растяжению, минус – сжатию. Эпюра напряжений показана на рис. 2.1.1, в.

3. Построение эпюры продольных перемещений.

Для построения эпюры перемещений вычисляем абсолютные удлинения отдельных участков бруса, используя закон Гука:

19

Определяем перемещение сечений, начиная с неподвижного закрепленного конца. Сечение D расположено в заделке, оно не может смещаться и его перемещение равно нулю:

Сечение C переместится в результате изменения длины участка CD. Перемещение сечения C определяется по формуле

При отрицательной (сжимающей) силе точка C сместится влево. Перемещение сечения В является результатом изменения длин DC и CB.

Складывая их удлинения, получаем

Рассуждая аналогично, вычисляем перемещение сечения А:

В выбранном масштабе откладываем от исходной оси значения вычисленных перемещений. Соединив полученные точки прямыми линиями, строим эпюру перемещений (рис. 2.1.1, г).

4. Проверка прочности бруса.

Условие прочности записывается в следующем виде:

Максимальное напряжение находим по эпюре напряжений, выбирая максимальное по абсолютной величине:

Это напряжение действует на участке DC, все сечения которого являются опасными. Допускаемое напряжение вычисляем по формуле:

Сравнивая , видим, что условие прочности не выполняется, так как максимальное напряжение превышает допускаемое.

Задача 2.1.2.

Стальной стержень круглого поперечного сечения находится под действием продольной силы и равномерно распределенной нагрузки (рис. 2.1.2). Требуется построить эпюру продольных усилий , подобрать сечение

из условия прочности и построить эпюру перемещений .

Решение

1. В данной задаче необходимо разбить стержень на два участка (рис. 2.1.2). Начиная со свободного конца стержня, мысленно разрезаем каждый участок в

20