Как видно из рис. 36, при малом угле θ

С С_ΘrΘ.

Сопоставляя выражения, найдем, что поперечный метацентрический радиус:

r=.

Аппликатапоперечного метацентра:

z_m =z_c +r=z_c +.

5.3.2. Продольные наклонения (рис.37).По аналогии с поперечными наклонениями точка пересечения линий действия силы плавучести при бесконечно малом продольном равнообъемном наклонении судна называетсяпродольным метацентром(точка М на рис.37). Возвышение продольного метацентра над ЦВ называетсяпродольным метацентрическим радиусом. Величина продольного радиуса определяется выражением:

R = ,

где J_yf– момент инерции площади ватерлинии относительно поперечной центральной оси.

Рис.37.К выводу выражения

для продольного

метацентрического радиуса

Аппликата продольного метацентра:

z_м=z_c +R=z_c +.

Так как площадь ватерлинии вытянута в продольном направлении, то Jyf намного превышаетJx и соответственноRзначительно большеr. ВеличинаRсоставляет 12 длины судна.

Метацентрические радиусы и аппликаты метацентров являются, как это будет ясно из последующего рассмотрения, важными характеристиками остойчивости судна. Значения их определяются при расчете элементов погруженного объема и для судна, плавающего без крена и дифферента, представляются кривыми J_x (d), J_yf (d), r(d), R(d) на чертеже кривых элементов теоретического чертежа (рис. 21).

§ 5.4. Условие начальной остойчивости судна. Метацентрические высоты

Найдем условие, при соблюдении которого судно, плавающее в состоянии равновесия без крена и дифферента, будет обладать начальной остойчивостью. Полагаем, что грузы при наклонении судна

не смещаются и ЦТ судна остается в точке, соответствующей исходному положению.

При наклонениях судна сила тяжести Р и силы плавучести γV образуют пару, момент которой определенным образом воздействует на судно. Характер этого воздействия зависит от взаимного расположения ЦТ и метацентра.

Рис.38. Первый случай остойчивости судна

Возможны три характерных случая состояния судна для которых воздействие на него момента сил Р и γV качественно различно. Рассмотрим их на примере поперечных наклонений.

1-й случай (рис. 38) - метацентр располагается выше ЦТ, т.е. z_m > z_g. В данном случае возможно различное расположение центра величины относительно центра тяжести.

I. В начальном положении центр величины (точка С₀), располагается ниже центра тяжести (точка G) (рис. 38, а), но при наклонении центр величины смещается в сторону наклонения настолько сильно, что метацентр (точка m) располагается выше центра тяжести судна. Момент сил Р и γV стремится вернуть судно в исходное положение равновесия, и поэтому оно остойчиво. Подобное расположение точек m, G и С₀ встречается на большинстве судов.

II. В начальном положении центр величины (точка С₀), располагается выше центра тяжести (точка G) (рис. 38,б). При наклонении судна возникающий момент сил Р и γV выпрямляет судно, и поэтому оно остойчиво. В данном случае, независимо от размеров смещения центра величины при наклонении, пара сил всегда стремится выпрямить судно. Это объясняется тем, что точка G лежит ниже точки С₀. Такое низкое положение центра тяжести обеспечивающая безусловную остойчивость на судах трудно осуществить конструктивно. Та-

кое расположение центра тяжести можно встретить в частности, на парусных яхтах.

Рис.39. Второй и третий случай остойчивости судна

2-й случай (рис. 39,а) – метацентр располагается ниже ЦТ, т.е. z_m < z_g. В этом случае при наклонении судна момент сил Р и γV стремится еще больше отклонить судно от исходного положения равновесия, которое, следовательно, является неустойчивым. В этом случае наклонения судно имеет отрицательный восстанавливающий момент, т.е. оно не остойчиво.

3-й случай (рис. 39,б) – метацентр совпадает с ЦТ, т.е. z_m = z_g. В этом случае при наклонении судна силы Р и γV продолжают действовать по одной вертикали, момент их равен нулю – судно и в новом положении будет находиться в состоянии равновесия. В механике – этот случай безразличного равновесия.

С точки зрения теории судна в соответствии с определением остойчивости судна судно в 1-м случае остойчиво, а во 2 и 3-м – не остойчиво.

Итак, условием начальной остойчивости судна является расположение метацентра выше ЦТ. Судно обладает поперечной остойчивостью, если

z_m > z_g,

и продольной остойчивостью, если

z_м > z_g.

Отсюда становится ясным физический смысл метацентра. Эта точка является пределом, до которого можно поднимать центр тяжести не лишая судно положительной начальной остойчивости.

Расстояние между метацентром и ЦТ судна при Ψ = Θ = 0 называют начальной метацентрической высотой или просто метацентрической высотой. Поперечной и продольной плоскости наклонения судна отвечают соответственно поперечная h и продольная H метацентрические высоты. Очевидно, что

h = z_m – z_g и H = z_м – z_g ,

или h = z_c + r – z_g и H = z_c + R – z_g,

h = r – α и H = R – α,

где α = z_g – z_c – возвышение ЦТ над ЦВ.

Как видно h и H различаются только метацентрическими радиусами, т.к. α является одной и той же величиной.

, поэтому H значительно больше h.

α = (1%)R, поэтому на практике считают, что H = R.