§ 5.2. Равнообъемные наклонения судна. Теорема Эйлера

Остойчивость судна изучается при так называемых равнообъемных наклонениях, при которых величина подводного объема остается неизменной, а меняется лишь форма подводной части судна.

Введем основные определения, связанные с наклонениями судна:

ось наклонения – линия пересечения плоскостей двух ватерлиний;
плоскость наклонения – перпендикулярная оси наклонения плоскость, проходящая через ЦВ, соответствующий исходному положению равновесия судна.;
угол наклонения – угол поворота судна около оси наклонения (угол между плоскостями ватерлиний), измеряемый в плоскости наклонения;
равнообъемные ватерлинии – ватерлинии, отсекающие при наклонениях судна равные по величине клиновидные объемы, один из которых при наклонении судна входит в воду, а другой выходит из воды.

Рис. 33. К рассмотрению теоремы Эйлера

При известной исходной ватерлинии для построения равнообъемной ей ватерлинии используется теорема Эйлера. Согласно этой теореме при бесконечно малом наклонении судна плоскости равнообъемных ватерлиний пересекаются по прямой, проходящей через их общий геометрический центр (центр тяжести), или ось бесконечно малого равнообъемного наклонения проходит через геометрический центр площади исходной ватерлинии.

Теорема Эйлера может быть применена и для конечных малых наклонений с той малой погрешностью, чем меньше угол наклонения.

Предполагается, что достаточная для практики точность обеспечивается при наклонениях Θ  1012⁰ и Ψ  23⁰. В пределах этих углов и рассматривается начальная остойчивость судна.

Как известно из гл. 3, при плавании судна без крена и с дифферентом близким к нулю, ордината геометрического центра площади ватерлинии y_f = 0, а абсциса x_f0. Потому в данном случае можно считать, что ось поперечного малого равнообъемного наклонения лежит в ДП, а ось продольного малого равнообъемного наклонения перпендикулярна ДП и смещена от пл. мидель – шпангоута на расстояние x_f(рис.33).

Величина x_f является функцией осадки судна d. Зависимость x_f (d) представлена на кривых элементов теоретического чертежа.

При наклонении судна в произвольной плоскости ось равнообъемных наклонений также будет проходить через геометрический центр (центр тяжести) площади ватерлинии.

§ 5.3. Метацентры и метацентрические радиусы

Предположим, что судно из исходного положения без крена и дифферента совершает поперечные или продольные равнообъемные наклонения. При этом плоскостью продольных наклонений будет вертикальная плоскость, которая совпадает с ДП, а плоскость поперечных наклонений – вертикальная плоскость, которая совпадает с плоскостью шпангоута, проходящего через ЦВ.

5.3.1. Поперечные наклонения. В прямом положении судна ЦВ находится в ДП (точка С) и линия действия силы плавучести γV также лежит в ДП (рис. 34). При поперечном наклонении судна на угол Θ изменяется форма погруженного объема, ЦВ перемещается в сторону наклонения из точки С в точку С_Θ и линия действия силы плавучести будет наклонена к ДП под углом Θ.

Точка пересечения линий действия силы плавучести при бесконечно малом поперечном равнообъемном наклонении судна называется поперечным метацентром (точка m на рис.34). Радиус кривизны траектории ЦВ r (возвышение поперечного метацентра над ЦВ) называется поперечным метацентрическим радиусом.

В общем случае траектория ЦВ является сложной пространственной кривой и каждому углу наклонения соответствует свое положение метацентра (рис.35). Однако для малых равнообъемных наклонений с известным приближением можно принять, что траектория

ЦВ лежит в плоскости наклонения и является дугой окружности с центром в точке m. Таким образом, можно считать, что в процессе малого поперечного равнообъемного наклонения судна из прямого положения поперечный метацентр лежит в ДП и своего положения не меняет (r = const).

Рис.34. Перемещение ЦВ при Рис.35. Перемещение ЦВ при

малых наклонениях больших наклонениях

Выражение для поперечного метацентрического радиусаr получим из условия, что ось малого поперечного равнообъемного наклонения судна лежит в ДП и что при таком наклонении клиновидный объем v как бы переносится с борта, вышедшего из воды, на борт, вошедший в воду (рис.36).

Рис.36. К выводу выражения для поперечного метацентрического радиуса

Согласно известной теореме механики при перемещении тела, принадлежащей системе тел, центр тяжести всей системы перемешается в том же направлении параллельно перемещению тела, причем эти перемещения обратно пропорциональны силам тяжести тела и системы соответственно. Эту теорему можно распространить и на объемы однородных тел. Обозначим: С С_Θ – перемещение ЦВ (геометрического центра объема V), b – перемещение геометрического центра клиновидного объема v. Тогда в соответствии с теоремой

= , откуда: С С_Θ = .