Этап 2. Уточнение корней
Проведем уточнение корней уравнения sin(x)=0 на интервале 3.1<х<3,25, воспользовавшись алгоритмом метода дихотомии.
1) Введем заголовки новой таблицы:
E5 ‘Уточнение корней методом дихотомий .
D6’A E6 ‘B F6 ‘P G6 ‘F(A) H6 ‘F(B) I6 ‘F(P)
J6 ‘B-A .
2) Введем начальные значения A и B концов отрезка, P – его середины, значений функции F(A), F(B), F(P) и интервала неопределенности B-A:
D7 3,1 E7 3,25 F7 =(E7+D7)/2 G7 =sin(D7) H7 =sin(E7)
I7 =sin(F7) J7 =E7-D7 .
3) В клетки D8, E8 записываем логические функции поиска концов следующего интервала
D8 =ЕСЛИ(G7*I7>0;F7;D7) E8 =ЕСЛИ(H7*I7>0;F7;E7) .
4) Скопируем диапазон F?-A<7:J7 в диапазон F8:J8.
5) Скопируем диапазон D8:J8 в диапазон D9:J20.
В результате выполнения этих действий на экране будет представлено следующее:
|
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I |
J |
|
1 |
|
Лабораторная работа №1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
Иванов И.И. Группа СЭ21 |
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
Отделение корней уравнения sin(x)=0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
4 |
Хнач= |
1 |
Хкон= |
4 |
Н= |
0,15 |
|
|
|
|
|
5 |
Х |
F |
|
|
Уточнение корней методом дихотомий |
|
|
|||
|
6 |
1 |
0,84147 |
|
A |
B |
P |
F(A) |
F(B) |
F(P) |
B-A |
|
7 |
1,15 |
0,91276 |
|
3,1 |
3,25 |
3,175 |
0,04158 |
-0,10820 |
-0,03340 |
0,15000 |
|
8 |
1,3 |
0,96356 |
|
3,1 |
3,175 |
3,1375 |
0,04158 |
-0,03340 |
0,00409 |
0,07500 |
|
9 |
1,45 |
0,99271 |
|
3,1375 |
3,175 |
3,15625 |
0,00409 |
-0,03340 |
-0,01466 |
0,03750 |
|
10 |
1,6 |
0,99957 |
|
3,1375 |
3,15625 |
3,146875 |
0,00409 |
-0,01466 |
-0,00528 |
0,01875 |
|
11 |
1,75 |
0,98399 |
|
3,1375 |
3,146875 |
3,142188 |
0,00409 |
-0,00528 |
-0,00059 |
0,00937 |
|
12 |
1,9 |
0,94630 |
|
3,1375 |
3,142188 |
3,139844 |
0,00409 |
-0,00059 |
0,00175 |
0,00469 |
|
13 |
2,05 |
0,88736 |
|
3,139844 |
3,142188 |
3,141016 |
0,00175 |
-0,00059 |
0,00058 |
0,00234 |
|
14 |
2,2 |
0,80850 |
|
3,141016 |
3,142188 |
3,141602 |
0,00058 |
-0,00059 |
-0,00001 |
0,00117 |
|
15 |
2,35 |
0,71147 |
|
3,141016 |
3,141602 |
3,141309 |
0,00058 |
-0,00001 |
0,00028 |
0,00059 |
|
16 |
2,5 |
0,59847 |
|
3,141309 |
3,141602 |
3,141455 |
0,00028 |
-0,00001 |
0,00014 |
0,00029 |
|
17 |
2,65 |
0,47203 |
|
3,141455 |
3,141602 |
3,141528 |
0,00014 |
-0,00001 |
0,00006 |
0,00015 |
|
18 |
2,8 |
0,33499 |
|
3,141528 |
3,141602 |
3,141565 |
0,00006 |
-0,00001 |
0,00003 |
0,00007 |
|
19 |
2,95 |
0,19042 |
|
3,141565 |
3,141602 |
3,141583 |
0,00003 |
-0,00001 |
0,00001 |
0,00004 |
|
20 |
3,1 |
0,04158 |
|
3,141583 |
3,141602 |
3,141592 |
0,00001 |
-0,00001 |
0,00000 |
0,00002 |
|
21 |
3,25 |
-0,10820 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
3,4 |
-0,25554 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
3,55 |
-0,39715 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
3,7 |
-0,52984 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
3,85 |
-0,65063 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
4 |
-0,75680 |
|
|
|
|
|
|
|
|
После выполнения этих действий в клетках столбца F будут находиться последовательные приближения к точному значению корня с интервалом неопределенности, который отражается в столбце J. Величина интервала неопределенности на каждом шаге уменьшается вдвое. Как только интервал станет меньше заданной точности ε, то мы можем считать задачу выполненной. Пусть нам задана точность ε=0,001, тогда из приведенной выше таблицы видно, что в качестве ответа можно взять значение 3,141309±0,001, находящееся в клетке F15. Если же задано ε=0,0001, то данной точности удовлетворяет значение корня 3,141565±0,0001 в клетке F18.
Студентам предлагается самостоятельно видоизменить таблицу метода дихотомий применительно к методу хорд. Для этого достаточно лишь изменить содержимое клеток столбца F (величина Р ) в соответствии с вычислительной формулой метода хорд и столбца J в соответствии с критерием окончания вычислительного процесса в методе хорд.
Для каждого из методов указать значения найденного корня, соответствующие следующим значениям точности: 0.01, 0.001, 0.0001.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
-
Какие уравнения называются трансцендентными?
-
Назовите два этапа решения трансцендентных уравнений в порядке их выполнения. В чем заключается идея первого этапа?
-
Почему в методе дихотомии при выборе отрезка половинного деления используются произведения F(a)F(p) и F(b)F(p)?
-
Геометрическая интерпретация метода хорд. Постройте его алгоритм решения.
-
Запишите вывод формулы нахождения координаты точки Р в методе хорд. Запишите условие отбора отрезка, где находится искомый корень уравнения.
-
Почему в методе хорд нельзя использовать в качестве критерия окончания вычислительного процесса выполнение неравенства B-A<?
-
Охарактеризуйте различие геометрической интерпретации метода Ньютона и модифицированного метода Ньютона. Какой из перечисленных методов имеет лучшую сходимость, а какой более прост в реализации?
-
Запишите итерационную формулу модифицированного метода Ньютона.
-
Запишите условие сходимости метода простых итераций. Преобразуйте следующие уравнения к итерационному виду, для которого выполнялось бы условие сходимости
а) x2+2х=0 на промежутке (-2.5, -1.5);
б) Ln x = 2х2 – 5х-3 на промежутке (1.5, 3.0);
в) x2 – 3x + 2 = 0 на промежутке (1.6, 2.8).
ТАБЛИЦА ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ВАРИАНТОВ
|
Подгруппа 1 |
Подгруппа 2 |
|
№ |
Уравнение |
Промежуток |
|
№ |
Уравнение |
Промежуток |
||
|
х н |
х к |
|
х н |
х к |
||||
|
1 |
|
-3 |
2 |
|
1 |
|
1 |
8 |
|
2 |
|
-9,5 |
0,5 |
|
2 |
|
-10 |
10 |
|
3 |
|
-1,5 |
4,5 |
|
3 |
|
-1 |
6 |
|
4 |
|
-1 |
5 |
|
4 |
|
2 |
10 |
|
5 |
|
-9 |
-2 |
|
5 |
|
1 |
6 |
|
6 |
|
-12 |
-10 |
|
6 |
|
1 |
10 |
|
7 |
|
0 |
5 |
|
7 |
|
1 |
5 |
|
8 |
|
-2 |
3 |
|
8 |
|
3 |
9 |
|
9 |
|
-5 |
5 |
|
9 |
|
0 |
6 |
|
10 |
|
1 |
10 |
|
10 |
|
0 |
5 |
|
11 |
|
1 |
10 |
|
11 |
|
-6 |
4 |
|
12 |
|
0 |
10 |
|
12 |
|
-1 |
5 |
|
13 |
|
-5 |
5 |
|
13 |
|
-10 |
10 |
|
14 |
|
5 |
20 |
|
14 |
|
1 |
12 |
|
15 |
|
-1 |
3 |
|
15 |
|
-3 |
3 |
|
16 |
|
0 |
10 |
|
16 |
|
-1 |
11 |
|
17 |
|
1 |
20 |
|
17 |
|
-6 |
6 |
